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16.将矩形纸片ABCD(AD>AB)折叠,使点C折叠后的对应点G恰好与A点重合,且折痕分别与边BC、AD相交,设折叠后点C、D的对应点分别为点G、H,折痕分别与边BC、AD相交于点E、F.
(1)若AB=3,BE=4,求矩形的边BC的长度;
(2)判断四边形CEGF的形状,并证明你的结论.

分析 (1)由翻折可知EC=AE,求出AE即可解决问题.
(2)结论:四边形CEGF是菱形.首先证明GF=GE,再证明四边形CEGF是平行四边形即可.

解答 解:(1)∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=90°,
∵AB=3,BE=4,
∴AE=$\sqrt{A{B}^{2}+B{E}^{2}}$=$\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}$=5,
由翻折可知EC=AE=5,
∴BC=BE+CE=9.

(2)结论:四边形CEGF是菱形.
理由:∵四边形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,
∴∠GFE=∠FEC,
∵∠GEF=∠FEC,
∴∠GFE=∠FEG,
∴GF=GE,
∵图形翻折后EC与GE完全重合,
∴EC=GE,
∴GF=EC,∵GF∥EC
∴四边形CEGF是平行四边形,∵GF=GE,
∴四边形CEGF是菱形.

点评 本题考查翻折变换、矩形的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质、平行四边形的判定和性质、菱形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用翻折不变性解决问题,属于中考常考题型.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

6.阅读与思考:
   婆罗摩笈多是一位印度数学家和天文学家,书写了两部关于数学和天文学的书籍,他的一些数学成就在世界数学史上有较高的地位,他的负数及加减法运算仅晚于中国九章算术而他的负数乘除法法则在全世界都是领先的,他还提出了著名的婆罗摩笈多定理,该定理的内容及部分证明如下:
    已知:如图,四边形ABCD内接于圆O,对角线AC⊥BD于点M,ME⊥BC于点E,延长EM交CD于点F,求证:F是AD中点
 证明∵AC⊥BD,ME⊥BC
∴∠CBD=∠CME
∵∠CBD=∠CAD,∠CME=∠AMF
∴∠CAD=∠AMF
∴AF=MF
∵∠AMD=90°,同时∠MAD+∠MDA=90°
∴∠FMD=∠FDM
∴MF=DF,∴AF=DF即F是AD中点.
请你阅读婆罗摩笈多定理的证明过程,完成婆罗摩笈多逆定理的证明:
(1)如图1,四边形ABCD内接于圆O,对角线AC⊥BD于点M,F为AD中点,连接FM并延长交BC于点E,求证:ME⊥BC.
(2)已知:如图2,△ABC内接于圆O,∠B=30°,∠ACB=45°,AB=2,点D在圆O上,∠BCD=60°,连接AD交BC于点P,作ON⊥CD于点N,连接并延长NP交AB于点M,求证PM⊥BA并求PN的长.

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科目:初中数学 来源: 题型:解答题

7.在平面直角坐标系中,我们不妨把横坐标与纵坐标相等的点称为梦之点,例如,点(1,1),(-2,-2),( $\sqrt{2}$,$\sqrt{2}$  ),…,都是梦之点,显然梦之点有无数个.
(1)若点P(2,b)是反比例函数y=$\frac{n}{x}$(n为常数,n≠0)的图象上的梦之点,求这个反比例函数解析式;
(2)⊙O的半径是$\sqrt{2}$,
①求出⊙O上的所有梦之点的坐标;
②已知点 M(m,3),点Q是(1)中反比例函数y=$\frac{n}{x}$图象上异于点P的梦之点,过点Q 的直线l与y轴交于点 A,tan∠OAQ=1.若在⊙O上存在一点N,使得直线MN∥l或MN⊥l,求出m的取值范围.

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科目:初中数学 来源: 题型:填空题

4.如图,正方形OABC的两边OA,OC分别在x轴上,点D(5,3)在边AB上,以C为中心,把△CDB绕点C顺时针旋转90°,则旋转后点D的对应点D′的坐标是(-2,0).

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

11.如图,在一张矩形纸片内,先折出矩形的对角线AC,以AC为折痕折叠AD交BC边于点E,再以AC为折痕折叠BC交AD边于点F,则下列结论不一定正确的是(  )
A.AE=CFB.AB=AMC.AC⊥EFD.EF平分∠AEC

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

1.4个红球、6个白球放入一个不透明的盒子里,从中任摸出5个球,恰好红球、白球都摸到,这个事件是(  )
A.必然事件B.不可能发生C.可能发生D.很可能发生

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科目:初中数学 来源: 题型:选择题

8.下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是(  )
A.B.C.D.

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5.“五一”期间,学校开展“庆五一,读好书”活动,某班委成员对本班同学活动期间的读书情况进行了统计,并制成了如图两幅不完整的统计图:

(1)根据统计图中的信息,通过计算将条形统计图补充完整;
(2)如果读5本书的同学中有两位男生,现在要从读5本书的同学中随机抽出两位同学参加学校团委组织的活动总结大会,请你用列表法或画树状图的方法,求出所选两位同学恰好有一位男同学和一位女同学的概率.

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6.如图,四边形ABCD中,AD∥BC,∠A=110°,则∠B=70°.

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