Question

13．定义感知：我们把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”．如图所示的抛物线y₁=x²+2x+2与y₂=x²-2x+2是一对“孪生抛物线”，其“共点”为点A．
初步运用：
（1）判断下列论断是否正确？正确的在题后横线上打“√”，错误的则打“×”：
①“孪生抛物线”的“共点”不能分布在x轴上．×
②“孪生抛物线”y=（x-2）²-9与y=（x+2）²-9的“共点”坐标为（0，5）．√
（2）填空：抛物线y=-2x²-4x+5的“孪生抛物线”的解析式为y=-2x²-4x+5．
延伸拓展：在平面直角坐标系中，记“孪生抛物线”的两顶点分别为M，M′，且MM′=4，其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，试求该“孪生抛物线”的解析式．

Answer 1

分析 初步运用：（1）由“孪生抛物线”的意义判断即可，它们的共点在y轴，求出其坐标；
（2）由“孪生抛物线”的顶点关于y轴对称，所以把解析式化成顶点式，求出其“孪生抛物线”；
延伸拓展：由于其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，①开口向上时，求出M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），设出“孪生抛物线”把共点A（0，6）代入即可，②开口向下时，求出M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），设出“孪生抛物线”把共点A（0，-6）代入即可．

解答 解：初步运用：
（1）①∵把顶点关于y轴对称，且交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”．
∴“孪生抛物线”的“共点”能分布在x轴上，
②∵交于y轴上同一点的两条抛物线叫做“孪生抛物线”，该点叫“孪生抛物线”的“共点”，
∴“孪生抛物线”的“共点”在y轴上，
②“孪生抛物线”y=（x-2）²-9与y=（x+2）²-9
∴令x=0，y=5，
∴共点（0，5）
故答案为×，√
（2）∵抛物线y=-2x²-4x+5=-2（x²+2x）+5=-2（x+1）²+7，
∴它的“孪生抛物线”为y=-2（x-1）²+7=-2（x²-2x+1）+7=-2x²+4x+5，
故答案为y=-2x²+4x+5；
延伸拓展：由题意得，“孪生抛物线”有下面两种情况：
①当“孪生抛物线”的开口向上时，如图1所示，

∵由于其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，
∴$\frac{1}{2}$MM′×OA=12，
∴OA=6，
∴M（-2，3），M′（2，3），A（0，6），
由此可设“孪生抛物线”的解析式为：y=a（x+2）²+3与y=a（x-2）²+3，
∵点A（0，6）在“孪生抛物线”的图象上，
∴6=a×2²+3，
∴a=$\frac{3}{4}$，
∴“孪生抛物线”的解析式为：y=$\frac{3}{4}$（x+2）²+3与y=$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；
②当“孪生抛物线”的开口向下时，如图2所示，

∵由于其“共点”A与M，M′，O三点恰好构成一个面积为12的菱形，且MM′=4，
∴$\frac{1}{2}$MM′×OA=12，
∴OA=6，
∴M（-2，-3），M′（2，-3），A（0，-6），
由此可设“孪生抛物线”的解析式为：y=a（x+2）²-3与y=a（x-2）²-3，
∵点A（0，-6）在“孪生抛物线”的图象上，
∴-6=a×2²+3，
∴a=-$\frac{3}{4}$，
∴“孪生抛物线”的解析式为：y=-$\frac{3}{4}$（x+2）²+3与y=-$\frac{3}{4}$（x-2）²+3；

点评 此题是二次函数综合题，主要考查了新定义的理解和掌握，二次函数的性质，解决二次函数的方法一样，解本题的关键是掌握“孪生抛物线”的定义．