Question

11．已知，如图，⊙O的半径为2，弦AB的长为2$\sqrt{3}$．
（1）若点P为圆上一动点（点P不与A、B重合），求∠APB的度数；
（2）若点P为优弧AB上一动点（点P不与A、B重合），设点A关于直线BP的对称点为A′：
①当点A′落在圆上时，试判断点P运动到什么位置？
②若直线BA′与⊙O相切于B点，求BP的长；
③记∠BAP=α，在点P运动的过程中，若线段BA′与优弧APB有两个公共点，请直接写出α的取值范围．

Answer 1

分析 （1）首先证明∠AOB=120°，分两种情形当点P在优弧上时，∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，当点P′在劣弧上时，∠AP′B=180°-∠APB=120°．
（2）①如图2中，结论：当点A′落在圆上时，点P、O、B共线，PB是⊙O直径．只要证明∠PAB=90°即可．
②如图3中，连接OA′，只要证明△PAB是等边三角形即可．
③由①可知，当点A′落在圆上时，如图2中，∠PAB=α=90°，此时线段BA′与优弧APB有两个公共点，由②可知，若直线BA′与⊙O相切于B点，如图3中，∠PAB=α=60°，此时此时线段BA′与优弧APB只有1个公共点，由此即可确定α的范围．

解答 解：（1）如图1中，作OH⊥AB于H．

∵OH⊥AB，
∴AH=HB=$\sqrt{3}$，
∵cos∠OAH=$\frac{AH}{OA}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴∠OAB=∠OBA=30°，∠AOB=120°，
当点P在优弧AB上时，∠APB=$\frac{1}{2}$∠AOB=60°，
当点P′在劣弧AB上时，∠AP′B=180°-∠APB=120°，
∴∠APB的度数为60°或120°．

（2）①如图2中，结论：当点A′落在圆上时，点P、O、B共线，PB是⊙O直径．

理由：∵A、A′关于PB对称，
∴∠APB=∠A′PB=60°，
∴∠APA′=120°，∠ABA′=180°-∠APA′=60°，
∵∠PBA=∠PBA′，
∴∠PBA=∠PBA′=30°，
∴∠APB+∠ABP=90°，
∴∠PAB=90°，
∴PB是直径，P、O、B共线．

②如图3中，连接OA′．

∵BA′是⊙O的切线，
∴∠OBA′=90°，
∴tan∠A′OB=$\frac{A′B}{OB}$=$\sqrt{3}$，
∴∠A′OB=60°，
∵∠AOB=120°，
∴∠AOB+∠A′OB=180°，
∴A、O、A′共线，
∵AA′⊥PB，
∴∠ABP=60°=∠APB，
∴△PAB是等边三角形，
∴PB=AB=2$\sqrt{3}$．

③由①可知，当点A′落在圆上时，如图2中，∠PAB=α=90°，此时线段BA′与优弧APB有两个公共点，
由②可知，若直线BA′与⊙O相切于B点，如图3中，∠PAB=α=60°，此时此时线段BA′与优弧APB只有1个公共点，
∴60°＜α≤90°时，线段BA′与优弧APB有两个公共点．

点评 本题考查圆综合题、锐角三角函数、圆周角定理、等边三角形的判定和性质、直径的判定等知识，解题的关键是注意一题多解，灵活运用三角函数求出特殊角，是本题的突破点，属于中考压轴题．