【题目】如图,已知二次函数y=x2+bx+c的图象经过点A(0,3)且对称轴是直线x=2.
(1)求该函数的表达式;
(2)在抛物线上找点,使△PBC的面积是△ABC的面积的2倍,求点P的坐标.
【答案】(1)y=x2﹣4x+3;(2)P的坐标为(2+,6)或(2﹣,6).
【解析】
(1)将点A坐标代入可得c的值,根据对称轴可得b的值;
(2)先根据解析式求得点B、C的坐标,继而可得△ABC的面积,设点P(a,a2-4a+3),从而表示出△PBC的面积,根据二次函数的最小值及面积间关系得出关于a的方程,即可求得a的值,可得答案.
解:(1)将点A(0,3)代入y=x2+bx+c,得:c=3,
∵抛物线对称轴为x=2,
∴﹣=2,得:b=﹣4,
∴该二次函数解析式为y=x2﹣4x+3;
(2)令y=0,得:x2﹣4x+3=0,
解得:x=1或x=3,
∴点B(1,0)、C(3,0),
则S△ABC=×2×3=3,
设点P(a,a2﹣4a+3),
则S△PBC=×2×|a2﹣4a+3|=|a2﹣4a+3|,
∵y=x2﹣4x+3=(x﹣2)2﹣1,
∴二次函数的最小值为﹣1,
根据题意可得a2﹣4a+3=6,
解得:a=2 ,
∴点P的坐标为(2+,6)或(2﹣,6).
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【题目】已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2=0有两个实数根x1和x2.
(1)求实数m的取值范围;
(2)当x12﹣x22=0时,求m的值.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知M1(3,2),N1(5,-1),线段M1N1平移至线段MN处(注:M1与M,N1与N分别为对应点).
(1)若M(-2,5),请直接写出N点坐标.
(2)在(1)问的条件下,点N在抛物线上,求该抛物线对应的函数解析式.
(3)在(2)问条件下,若抛物线顶点为B,与y轴交于点A,点E为线段AB中点,点C(0,m)是y轴负半轴上一动点,线段EC与线段BO相交于F,且OC︰OF=2︰,求m的值.
(4)在(3)问条件下,动点P从B点出发,沿x轴正方向匀速运动,点P运动到什么位置时(即BP长为多少),将△ABP沿边PE折叠,△APE与△PBE重叠部分的面积恰好为此时的△ABP面积的,求此时BP的长度.
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【题目】小明投资销售一种进价为每件20元的护眼台灯.销售过程中发现,每月销售量y(件)与销售单价x(元)之间的关系可近似的看作一次函数:y=﹣10x+500,在销售过程中销售单价不低于成本价,而每件的利润不高于成本价的60%.
(1)设小明每月获得利润为w(元),求每月获得利润w(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式,并确定自变量x的取值范围.
(2)当销售单价定为多少元时,每月可获得最大利润?每月的最大利润是多少?
(3)如果小明想要每月获得的利润不低于2000元,那么小明每月的成本最少需要多少元?(成本=进价×销售量)
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【题目】如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,图象过点A(﹣3,0),对称轴为x=﹣1.给出四个结论:①b2>4ac;②2a+b=0;③3a+c=0;④a+b+c=0.其中正确结论的个数是( )
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
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【题目】如图,隧道的截面由抛物线和长方形构成,长方形的长为16m,宽为6m,抛物线的最高点C离地面AA1的距离为8m.
(1)按如图所示的直角坐标系,求表示该抛物线的函数表达式.
(2)一大型汽车装载某大型设备后,高为7m,宽为4m,如果该隧道内设双向行车道,那么这辆贷车能否安全通过?
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【题目】某商品的进价为每件40元,如果售价为每件50元,每个月可卖出210件;如果售价超过50元但不超过80元,每件商品的售价每上涨1元,则每个月少卖1件;如果售价超过80元后,若再涨价,则每涨1元每月少卖3件.设每件商品的售价为x元,每个月的销售量为y件.
(1)求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围;
(2)设每月的销售利润为W,请直接写出W与x的函数关系式;
(3)每件商品的售价定为多少元时,每个月可获得最大利润?最大的月利润是多少元?
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【题目】某市为了做好“全国文明城市”验收工作,计划对市区米长的道路进行改造,现安排甲、乙两个工程队进行施工.
(1)已知甲工程队改造360米的道路与乙工程队改造300米的道路所用时间相同.若甲工程队每天比乙工程队多改造30米,求甲、乙两工程队每天改造道路的长度各是多少米.
(2)若甲工程队每天可以改造米道路,乙工程队每天可以改造米道路,(其中).现在有两种施工改造方案:
方案一:前米的道路由甲工程队改造,后米的道路由乙工程队改造;
方案二:完成整个道路改造前一半时间由甲工程队改造,后一半时间由乙工程队改造.
根据上述描述,请你判断哪种改造方案所用时间少?并说明理由.
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