Question

已知：如图所示的一张矩形纸片ABCD（AD＞AB），将纸片折叠一次，使点A与点C重合，再展开，折痕EF交AD边于点E，交BC边于点F，分别连结AF和CE．
（1）求证：四边形AFCE是菱形；
（2）若AE=5cm，△CDE的周长为12cm，求矩形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）根据折叠的性质得FE垂直平分AO，EA=EC，则∠EAC=∠ECA，由AE∥CF得∠FCA=∠EAC，则∠FCA=∠ECA，而CO⊥EF，所以CO平分EF，则AC与EF互相垂直平分，然后根据菱形的判定方法即可得到结论；
（2）由于EC=EA=5cm，而△CDE的周长为12cm，则DE+DC=7cm，即DE=7-DC，在Rt△DEC中利用勾股定理可求出DC，然后计算矩形的面积．

解答：（1）证明：∵矩形纸片ABCD折叠一次，使点A与点C重合，
∴FE垂直平分AO，EA=EC，
∴∠EAC=∠ECA，
∵AE∥CF，
∴∠FCA=∠EAC，
∴∠FCA=∠ECA，
而CO⊥EF，
∴CO平分EF，
∴AC与EF互相垂直平分，
∴四边形AFCE是菱形；
（2）解：∵EC=EA=5cm，
而△CDE的周长为12cm，
∴DE+DC=7cm，即DE=7-DC，
∵DE²+DC²=EC²，
∴（7-DC）²+DC²=5²，解得DC=3或4，
当DC=3cm时，DE=4cm，AD=5cm+4cm=9cm，则S_矩形ABCD=3×9=27（cm²）；
当DC=4cm时，DE=3cm，AD=5cm+3cm=8cm，则S_矩形ABCD=4×8=32（cm²）；
∴S_矩形ABCD=27cm²或32cm²．

点评：本题考查了折叠问题：折叠前后两图形全等，即对应线段相等；对应角相等．也考查了勾股定理、菱形的判定方法以及矩形的性质．