Question

【题目】已知：如图1，在△ABC中，点D在AB上，连接CD. DE平分∠BDC交BC于点E，且DE∥AC, 若F为AC的中点，连接DF．

（1）求证：DF⊥DE．

（2）若BE：CE=2：3，S△CDE＝9，求△ABC的面积．

（3）如图2，M为BC的中点，过M作MN∥DE交AB于点N，交CD于点G，若BD=a，DG=b.试求CD的长（用a、b的代数式表示）．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）a+2b

【解析】

（1）由DE平分∠BDC知∠BDE=∠CDE，由DE∥AC知∠BDE=∠A，∠CDE=∠ACD，从而得∠A=∠ACD，即AD=CD，再由F为AC的中点知DF⊥AC，结合DE∥AC即可得证；
（2）由BE：CE=2：3可得S△BDE：S△CDE=2：3，根据S△CDE=9得S△BDE=×9＝6，证△BDE∽△BAC可得，据此可得答案；
（3）证MN∥AC，结合M为BC的中点知BN=AN，由DE平分∠BDC知∠BDE=∠CDE，再证∠BNM=∠DGN得DN=DG=b，据此知BN=BD+DN=a+b=AN，AD=AN+DN=a+b+b=a+2b，结合AD=CD可得答案．

（1）证明：∵DE平分∠BDC，

∴∠BDE＝∠CDE

∵DE∥AC

∴∠BDE＝∠A，∠CDE＝∠ACD

∴∠A＝∠ACD

∴AD＝CD

∵F为AC的中点，

∴DF⊥AC

又∵DE∥AC，

∴DF⊥DE；

（2）解：∵BE：CE=2：3，

∴S△BDE ：S△CDE =2：3

∵S△CDE＝9

∴S△BDE＝

∵DE∥AC，

∴△BDE∽△BAC

∴

∴S△ABC＝S△BDE÷＝6×＝；

（3）解：∵MN∥DE，DE∥AC，

∴MN∥AC

又∵M为BC的中点，

∴

∴BN＝AN

又∵DE平分∠BDC

∴∠BDE＝∠CDE

∵DE∥MN

∴∠BDE＝∠BNM，∠CDE＝∠DGN

∴∠BNM＝∠DGN，

∴DN＝DG=b

∴BN＝BD+DN=a+b=AN

∴AD＝AN+DN=a+b+b=a+2b

由（1）可知：CD=AD= a+2b.