Question

4．如图，在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=x²-2x+m（m＞0）的对称轴与比例系数为5的反比例函数图象交于点A，与x轴交于点B，抛物线的图象与y轴交于点C，且OC=3OB．
（1）求点A的坐标；
（2）求直线AC的表达式；
（3）点E是直线AC上一动点，点F在x轴上方的平面内，且使以A、B、E、F为顶点的四边形是菱形，直接写出点F的坐标．

Answer 1

分析 （1）可求得抛物线对称轴方程和反比例函数解析式，则可求得A点坐标；
（2）可求得B点坐标，再由OC=3OB可求得C点坐标，利用待定系数法可求得直线AC的表达式；
（3）当AB为菱形的边时，则BE=AB或AE=AB，设出E点坐标，可表示出BE的长，可得到关于E点坐标的方程，可求得E点坐标，由AB∥EF，则可求得F点的坐标；当AB为对角线时，则EF被AB垂直平分，则可求得E的纵坐标，从而可求得E点坐标，利用对称性可求得F点的坐标．

解答 解：
（1）由题意可知二次函数图象的对称轴是直线x=1，反比例函数解析式是y=$\frac{5}{x}$，
把x=1代入y=$\frac{5}{x}$，得y=5，
∴点A的坐标为（1，5）；

（2）由题意可得点B的坐标为（1，0），
∵OC=3OB，
∴OC=3，
∵m＞0，
∴m=3，
可设直线AC的表达式是y=kx+3，
∵点A在直线AC上，
∴k=2，
∴直线AC的表达式是y=2x+3；

（3）当AB、BE为菱形的边时，如图1，

设E（x，2x+3），则BE=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x+3）^{2}}$，
∵四边形ABEF为菱形，
∴AB=BE=5，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x+3）^{2}}$=5，解得x=1（E、A重合，舍去）或x=-3，
此时E（-3，-3），
∵EF∥AB且EF=AB，
∴F（-3，2），
当AB、AE为边时，则AE=AB=5，
同理可求得AE=$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x+3-5）^{2}}$，
∴$\sqrt{（x-1）^{2}+（2x+3-5）^{2}}$=5，解得x=1-$\sqrt{5}$（此时F点在第三象限，舍去）或x=1+$\sqrt{5}$，
∴E（1+$\sqrt{5}$，5+2$\sqrt{5}$），
∵EF∥AB且EF=AB，
∴F（1+$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）；
当AB为对角线时，如图2，

则EF过AB的中点，
∵A（1，5），B（1，0），
∴AB的中点为（1，$\frac{5}{2}$），
∵EF⊥AB，
∴EF∥x轴，
∴E点纵坐标为$\frac{5}{2}$，代入y=2x+3可得$\frac{5}{2}$=2x+3，解得x=-$\frac{1}{4}$，
∴E（-$\frac{1}{4}$，$\frac{5}{2}$），
∴F（$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$）；
综上可知F点的坐标为（-3，2）或（1+$\sqrt{5}$，2$\sqrt{5}$）或（$\frac{9}{4}$，$\frac{5}{2}$）．

点评 本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、菱形的性质、勾股定理、方程思想及分类讨论思想等．在（1）中确定出A点的横坐标是解题的关键，在（2）中求得C点坐标是解题的关键，在（3）中确定出E点的位置是解题的关键，注意分情况讨论．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．