Question

7．如图，平面直角坐标系中，直线AB：y=-x+b交y轴于点A（0，4），交x轴于点B．
（1）求直线AB的表达式和点B的坐标；
（2）直线l垂直平分OB交AB于点D，交x轴于点E，点P是直线l上一动点，且在点D的上方，设点P的纵坐标为n．
①用含n的代数式表示△ABP的面积；
②当S_△ABP=8时，求点P的坐标；
③在②的条件下，以PB为斜边在第一象限作等腰直角△PBC，求点C的坐标．

Answer 1

分析 （1）把点A的坐标代入直线解析式可求得b=4，则直线的解析式为y=-x+4，令y=0可求得x=4，故此可求得点B的坐标；
（2）①由题l垂直平分OB可知OE=BE=2，将x=2代入直线AB的解析式可求得点D的坐标，设点P的坐标为（2，n），然后依据S_△APB=S_△APD+S_△BPD可得到△APB的面积与n的函数关系式为S_△APB=2n-4；
②由S_△ABP=8得到关于n的方程可求得n的值，从而得到点P的坐标；
③如图1所示，过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．设点C的坐标为（p，q），先证明△PCM≌△CBN，得到CM=BN，PM=CN，然后由CM=BN，PM=CN列出关于p、q的方程组可求得p、q的值；如图2所示，同理可求得点C的坐标．

解答 解：（1）∵把A（0，4）代入y=-x+b得b=4
∴直线AB的函数表达式为：y=-x+4．
令y=0得：-x+4=0，解得：x=4
∴点B的坐标为（4，0）．
（2）①∵l垂直平分OB，
∴OE=BE=2．
∵将x=2代入y=-x+4得：y=-2+4=2．
∴点D的坐标为（2，2）．
∵点P的坐标为（2，n），
∴PD=n-2．
∵S_△APB=S_△APD+S_△BPD，
∴S_△ABP=$\frac{1}{2}$PD•OE+$\frac{1}{2}$PD•BE=$\frac{1}{2}$（n-2）×2+$\frac{1}{2}$（n-2）×2=2n-4．
②∵S_△ABP=8，
∴2n-4=8，解得：n=6．
∴点P的坐标为（2，6）．
③如图1所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．
∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BNC=90°}\\{∠MPC=∠NCB}\\{PC=BC}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴$\left\{\begin{array}{l}{p-4=6-q}\\{q=p-2}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=6}\\{q=4}\end{array}\right.$．
∴点C的坐标为（6，4）．
如图2所示：过点C作CM⊥l，垂足为M，再过点B作BN⊥CM于点N．

设点C（p，q）．
∵△PBC为等腰直角三角形，PB为斜边，
∴PC=CB，∠PCM+∠MCB=90°．
∵CM⊥l，BN⊥CM，
∴∠PMC=∠BNC=90°，∠MPC+∠PCM=90°．
∴∠MPC=∠NCB．
在△PCM和△CBN中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠PMC=∠BNC=90°}\\{∠MPC=∠NCB}\\{PC=BC}\end{array}\right.$，
∴△PCM≌△CBN．
∴CM=BN，PM=CN．
∴$\left\{\begin{array}{l}{4-p=6-q}\\{q=2-p}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{p=0}\\{q=2}\end{array}\right.$．
∴点C的坐标为（0，2）．
综上所述点C的坐标为（6，4）或（0，2）．

点评 本题主要考查的是一次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求一次函数的解析式、割补法求面积、三角形的面积公式，全等三角形的性质可判断，由CM=BN，PM=CN列出关于p、q的方程组是解题的关键．