Question

9．（1）如图1，四边形ABCD是平行四边形，点A，B，C在⊙O上，AD与⊙O相切于点A，射线AO交BC于点E，交⊙O于点F，点P在射线AO上，且∠PCB=2∠BAF，请判断直线PC与⊙O的位置关系并给予证明．
（2）如图2，四边形ABCD为⊙O的圆内接四边形，若AC⊥BD，且AD=8，BC=6，求圆心O到AD、BC的距离之和．

Answer 1

分析 （1）首先连接OC，由AD与⊙O相切，可得FA⊥AD，四边形ABCD是平行四边形，可得AD∥BC，然后由垂径定理可证得F是$\widehat{BC}$的中点，BE=CE，∠OEC=90°，又由∠PCB=2∠BAF，即可求得∠OCE+∠PCB=90°，继而证得直线PC是⊙O的切线；
（2）记AC与BD的交点为H，先证△ADH∽△BCH得$\frac{AH}{BH}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{4}{3}$，连接AO并延长AO交⊙O于点G，再证△ADG∽△AHB可得$\frac{AD}{DG}$=$\frac{AH}{BH}$，即可知DG的长，进而得出AG的长，即⊙O的半径，作OE⊥AD，作OF⊥BC，根据垂径定理得出AE=$\frac{1}{2}$AD=4，BF=$\frac{1}{2}$BC=3，最后由勾股定理可求得OE、OF，从而得出答案．

解答 解：（1）如图1，连接OC．

∵AD与⊙O相切于点A，
∴FA⊥AD．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴FA⊥BC．
∵FA经过圆心O，
∴F是$\widehat{BC}$的中点，BE=CE，∠OEC=90°，
∴∠COF=2∠BAF．
∵∠PCB=2∠BAF，
∴∠PCB=∠COF．
∵∠OCE+∠COF=180°-∠OEC=90°，
∴∠OCE+∠PCB=90°．
∴OC⊥PC．
∵点C在⊙O上，
∴直线PC是⊙O的切线；

（2）记AC与BD的交点为H，
∵AC⊥BD，
∴∠AHD=∠BHC=90°，
又∵∠DAH=∠CBH，
∴△ADH∽△BCH，
∴$\frac{AH}{BH}$=$\frac{AD}{BC}$=$\frac{4}{3}$，
如图2，连接AO并延长AO交⊙O于点G，

∴∠ADG=∠AHB=90°，
∵∠G=∠ABH，
∴△ADG∽△AHB，
∴$\frac{AD}{DG}$=$\frac{AH}{BH}$，即$\frac{8}{DG}$=$\frac{4}{3}$，
∴DG=6，
∴AG=$\sqrt{A{D}^{2}+D{G}^{2}}$=10，
∴OA=OB=5，
连接OB，作OE⊥AD于点E，作OF⊥BC于点F，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=4，BF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴OE=$\sqrt{A{O}^{2}-A{E}^{2}}$=3，OF=$\sqrt{B{O}^{2}-B{F}^{2}}$=4，
∴OE+OF=7．

点评 此题考查了切线的判定、平行四边形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．