Question

数形结合作为一种数学思想方法，数形结合的应用大致又可分为两种情形：或者借助于数的精确性来阐明形的某些属性，即“以数解形”；或者借助形的几何直观性来阐明数之间的某种关系，即“以形助数”．
如浙教版九上课本第109页作业题第2题：如图1，已知在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足．易证得两个结论：（1）AC•BC=AB•CD   （2）AC²=AD•AB
（1）请你用数形结合的“以数解形”思想来解：如图2，已知在△ABC中（AC＞BC），∠ACB=90°，CD⊥AB，D为垂足，CM平分∠ACB，且BC、AC是方程x²-14x+48=0的两个根，求AD、MD的长．
（2）请你用数形结合的“以形助数”思想来解：设a、b、c、d都是正数，满足a：b=c：d，且a最大．求证：a+d＞b+c（提示：不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，构造图1）

Answer 1

分析：（1）首先通过解方程x²-14x+48=0求得AC、AB的值（AC＞AB）（观察图形得知），根据勾股定理求得AB=10；然后由△ACD∽△ABC的性质求得AD=6.4；最后由角平分线的性质求得MD的值；
（2）设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c，构造图1，由S_△ABC=

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底×高求得AB•CD=AC•BC，所以2AB•CD=2AC•BC①；再由勾股定理，得AB²=AC²+BC²②，根据①②解得（AB+CD）²＞（AC+BC）²，即a+d＞b+c．

解答：解：（1）显然，方程x²-14x+48=0的两根为6和8，
又AC＞BC，
∴AC=8，BC=6，
由勾股定理AB=10；
△ACD∽△ABC，得AC²=AD•AB，
∴AD=6.4；
∵CM平分∠ACB，
∴AM：MB=AC：CB，
解得，AM=

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，
∴MD=AD-AM=

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；

（2）解：不访设AB=a，CD=d，AC=b，BC=c．
由三角形面积公式，得AB•CD=AC•BC，
2AB•CD=2AC•BC；
又勾股定理，得AB²=AC²+BC²，
∴AB²+2AB•CD=AC²+BC²+2AC•BC（等式性质），
∴AB²+2AB•CD=（AC+BC）²，
∴AB²+2AB•CD+CD²＞（AC+BC）²，
∴（AB+CD）²＞（AC+BC）²；
又AB、CD、AC、BC均大于零，
∴AB+CD＞AC+BC即a+d＞b+c．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质、勾股定理及因式分解法解一元二次方程．解答（2）的难点是由等式AB²+2AB•CD=AC²+BC²+2AC•BC（等式性质），推到出不等式（AB+CD）²＞（AC+BC）²．