Question

6．如图，已知OB=1，以OB为直角边作等腰直角三角形A₁BO，再以OA₁为直角边作等腰直角三角形A₂A₁O，如此下去，则线段OA_n的长度为（$\sqrt{2}$）ⁿ．

Answer 1

分析 利用等腰直角三角形的性质以及勾股定理分别求出各边长，进而得出答案．

解答 解：∵△OBA₁为等腰直角三角形，OB=1，
∴BA₁=OB=1，OA₁=$\sqrt{2}$OB=$\sqrt{2}$；
∵△OA₁A₂为等腰直角三角形，
∴A₁A₂=OA₁=$\sqrt{2}$，OA₂=$\sqrt{2}$OA₁=2；
∵△OA₂A₃为等腰直角三角形，
∴A₂A₃=OA₂=2，OA₃=$\sqrt{2}$OA₂=2$\sqrt{2}$；
∵△OA₃A₄为等腰直角三角形，
∴A₃A₄=OA₃=2$\sqrt{2}$，OA₄=$\sqrt{2}$OA₃=4．
∵△OA₄A₅为等腰直角三角形，
∴A₄A₅=OA₄=4，OA₅=$\sqrt{2}$OA₄=4$\sqrt{2}$，
∵△OA₅A₆为等腰直角三角形，
∴A₅A₆=OA₅=4$\sqrt{2}$，OA₆=$\sqrt{2}$OA₅=8．
∴OA_n的长度为（$\sqrt{2}$）ⁿ．
故答案为：（$\sqrt{2}$）ⁿ．

点评 此题主要考查了等腰直角三角形的性质以及勾股定理，熟练应用勾股定理得出是解题关键．