Question

20．如图，Rt△OAB中，∠OAB=90°，OA=OB，双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）．经过A、B两点（A在B的左侧），AC⊥y轴于C，BD⊥x轴于D，连接AD交OB于E．下列结论正确的个数是（　　）
①AC+BD=OC；②AC²=OC•BD；③OD²-BD²=4k；④$\frac{OC-BD}{OC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；⑤AE²-DE²=2AC²．

• A． 2个
• B． 3个
• C． 4个
• D． 5个

Answer 1

分析 延长CA、DB交于点F，则四边形OCFD是矩形，得出∠F=90°，OC=DF，得出∠1+∠2=90°，由角的互余关系得出∠2=∠3，由AAS证明△ABF≌△OAC，得出对应边相等BF=AC，AF=OC，即可得出①正确；
设AC=a，OC=b，则BF=AC=a，AF=OC=b，BD=b-a，OD=CF=a+b，由△OAC的面积=△OBD的面积=$\frac{k}{2}$，得出AC•OC=OD•BD，即a²=b²-ab，得出AC²=OC•BD，②正确；
由OD²-BD²=（a+b）²-（b-a）²=4ab=4k，得出③正确；
证出BF²=DF•BD，得出B是DF的黄金分割点，BF是较长线段，得出BF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}DF=\frac{\sqrt{5}-1}{2}OC$，证出$\frac{OC-BD}{OC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，④正确；
作EM⊥OD于M，则∠EMD=90°，EM∥BD，证明A、O、B、D四点共圆，由圆周角定理得出∠ADO=∠ABO=45°，得出△DEM是等腰直角三角形，得出EM=DM，DE=$\sqrt{2}$EM，设EM=DM=y，则OM=OD-DM=a+b-y，证出△OEM∽△ODB，得出对应边成比例得出EM=y=$\frac{a}{2}$，得出DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，由平方差公式得出AE²-DE²=2a²，即可得出结论．

解答 解：延长CA、DB交于点F，如图1所示：
则四边形OCFD是矩形，
∴∠F=90°，OC=DF，
∴∠1+∠2=90°，
∵∠AOB=90°，OA=AB，
∴∠ABO=45°，∠1+∠3=90°，
∴∠2=∠3，
在△ABF和△OAC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠F=∠ACO=90°}&{\;}\\{∠2=∠3}&{\;}\\{AB=OA}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△OAC（AAS），
∴BF=AC，AF=OC，
∴AC+BD=BF+BD=DF=OC，
即①正确；
设AC=a，OC=b，则BF=AC=a，AF=OC=b，
∴BD=b-a，OD=CF=a+b，
∵双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）经过A、B两点，
∴△OAC的面积=△OBD的面积=$\frac{k}{2}$，
即$\frac{1}{2}$AC•OC=$\frac{1}{2}$OD•BD，k=ab，
∴AC•OC=OD•BD，
即ab=（a+b）（b-a），
∴a²=b²-ab，
即a²=b（b-a），
∴AC²=OC•BD，
∴②正确；
∵OD²-BD²=（a+b）²-（b-a）²=4ab=4k，
∴③正确；
∵AC=BF，DF=OC，AC²=OC•BD，
∴BF²=DF•BD，
∴B是DF的黄金分割点，BF是较长线段，
∴BF=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}DF=\frac{\sqrt{5}-1}{2}OC$，
∵BF=DF-BD=OC-BD，
∴$\frac{OC-BD}{OC}$=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴④正确；
作EM⊥OD于M，如图2所示：
则∠EMD=90°，EM∥BD，
∵∠OAB+∠ODB=180°，
∴A、O、B、D四点共圆，
∴∠ADO=∠ABO=45°，
∴△DEM是等腰直角三角形，
∴EM=DM，DE=$\sqrt{2}$EM，
设EM=DM=y，则OM=OD-DM=a+b-y，
∵EM∥BD，
∴△OEM∽△ODB，
∴$\frac{EM}{BD}=\frac{OM}{OD}$，
即$\frac{y}{b-a}=\frac{a+b-y}{a+b}$，
解得：EM=y=$\frac{{b}^{2}-{a}^{2}}{2b}$=$\frac{ab}{2b}$=$\frac{a}{2}$，
∴DE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∴AE²-DE²=（AE+DE）（AE-DE）=AD（AD-2DE）=$\sqrt{2}$b（$\sqrt{2}$b-$\sqrt{2}$a）=2b²-2ab=2b²-2（b²-a²）=2a²，
∴⑤正确；
正确的个数有5个，
故选：D．

点评 本题是反比例函数综合题目，考查了全等三角形的判定与性质、反比例函数的运用、矩形的判定与性质、黄金分割、等腰直角三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质等知识；本题综合性强，难度较大，特别是⑤，需要证明四点共圆，运用圆周角定理和三角形相似才能得出结果．