Question

【题目】如图，点B是⊙O上一点，弦CD⊥OB于点E，过点C的切线交OB的延长线于点F，连接DF，

（1）求证：DF是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为2，∠CFD＝60°，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）2.

【解析】

（1）连接OD，如图，利用切线的性质得∠OCD+∠DCF＝90°，再利用垂径定理得到OF为CD的垂直平分线，则CF＝DF，所以∠CDF＝∠DCF，加上∠CDO＝∠OCD，则∠CDO+∠CDB＝90°，然后根据切线的判定定理得到结论；

（2）根据切线的性质得到∠CFO＝30°，求得∠COF＝60°，根据直角三角形的性质和垂径定理即可得到结论．

（1）证明：连接OD，如图，

∵CF是⊙O的切线

∴∠OCF＝90°，

∴∠OCD+∠DCF＝90°

∵直径AB⊥弦CD，

∴CE＝ED，即OF为CD的垂直平分线

∴CF＝DF，

∴∠CDF＝∠DCF，

∵OC＝OD，

∴∠CDO＝∠OCD

∴∠CDO+∠CDB＝∠OCD+∠DCF＝90°，

∴OD⊥DF，

∴DF是⊙O的切线；

（2）解：∵FC，FD是⊙O的切线，∠CFD＝60°，

∴∠CFO＝30°，

∴∠COF＝60°，

∵CD⊥OB，

∴∠OCE＝30°，

∵OC＝2，

∴CE＝OC＝，

∴CD＝2CE＝2．