Question

阅读下面计算

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

9×11

的过程，然后填空．
解：因为

1

1×3

=

1

2

（

1

1

-

1

3

），

1

3×5

=

1

2

（

1

3

-

1

5

）…

1

9×11

=

1

2

（

1

9

-

1

11

）
所以

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+

1

9×11

=

1

2

（

1

1

-

1

3

）+

1

2

（

1

3

-

1

5

）+

1

2

（

1

5

-

1

7

）…+

1

2

（

1

9

-

1

11

）
=

1

2

（

1

1

-

1

3

+

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

…+

1

9

-

1

11

）=

1

2

（

1

1

-

1

11

）=

5

11

以上方法为裂项求和法，请类比完成：
（1）

1

2×4

+

1

4×6

+

1

6×8

+…+

1

18×20

=

 

．
（2）在和式

1

1×3

+

1

3×5

+

1

5×7

+…+（　　）=

6

13

中最未一项为

 

．
（3）已知-3x²y^a+1+x³y-3x⁴-2是五次四项式，单项式-3x^3by^3-a与多项式的次数相同，求

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+

1

4×5

+

1

5×6

+

1

6×7

+

1

7×8

+

1

8×9

-

2

b

的值．

Answer 1

分析：对于第一问，只需按照给出的规律展开即可求得，第二问则是知道结果求左边最后一项，可以运用方程思想，第三问首先需要根据多项式的次数求出a，b的值，然后再展开求值．

解答：解：（1）原式=

1

2

（

1

2

-

1

4

+

1

4

-

1

6

+…+

1

18

-

1

20

）=

1

2

×（

1

2

-

1

20

）=

9

40

．

（2）设最后一项为

1

x(x+2)

，则原式=

1

2

（1-

1

3

+

1

3

-

1

5

+…+

1

x

-

1

x+2

）=

6

13

，解得x=11．
故最后一项为

1

11×13

．

（3）因为-3x²y^a+1+x³y-3x⁴-2是五次四项式，所以2+a+1=5，则a=2．
又因为单项式-3x^3by^3-a与多项式的次数相同，所以3b+3-a=5，则b=

4

3

．
原式=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

8

-

1

9

-2×

3

4

=1-

1

9

-

3

2

=-

11

18

．

点评：此类问题一般都可以展开，前后项消去，最后只剩下前后两端的数值，计算较为简便．