Question

9．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，一次函数与反比例函数的图象相交于A（2，1）、B（-1，-2）两点．与x轴交于点C
（1）分别求反比例函数与一次函数的解析式；
（2）在第一象限的反比例函数图象上是否存在一点D，使得△AOD的面积等于△AOC面积的4倍？若存在，试求出点D的坐标．试说明理由．

Answer 1

分析 （1）由点A、B的坐标利用待定系数法即可求出一次函数的解析式，有点A的坐标利用待定系数法即可求出反比例函数的解析式；
（2）假设存在，设点D的坐标为（n，$\frac{2}{n}$）（n＞0），则点Q的坐标为（2，$\frac{2}{n}$），利用三角形的面积结合△AOD的面积等于△AOC面积的4倍，即可得出关于n的分式方程，解方程即可得出n的值，将其代入点D的坐标中即可得出结论．

解答 解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b（k≠0），反比例函数的解析式为y=$\frac{m}{x}$（m≠0），
将点A（2，1）、B（-1，-2）代入y=kx+b中，
$\left\{\begin{array}{l}{1=2k+b}\\{-2=-k+b}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=x-1．
将点A（2，1）代入y=$\frac{m}{x}$中，
1=$\frac{m}{2}$，解得：m=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
（2）假设存在，设点D的坐标为（n，$\frac{2}{n}$）（n＞0），则点Q的坐标为（2，$\frac{2}{n}$）．
当y=0时，有x-1=0，解得：x=1，
∴C（1，0）．
S_△AOD=S_矩形OEQF-S_△ODF-S_△OAE-S_△ADQ=2×$\frac{2}{n}$-$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×2-$\frac{1}{2}$×（2-n）×（$\frac{2}{n}$-1）=$\frac{2}{n}$-$\frac{n}{2}$=4S_AOC=4×$\frac{1}{2}$×1×1=2，
解得：n=2$\sqrt{2}$-2或n=-2$\sqrt{2}$-2（舍去），
经检验后得出n=2$\sqrt{2}$-2是方程$\frac{2}{n}$-$\frac{n}{2}$=2的解，
∴点D的坐标为（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$+1）．
故在第一象限的反比例函数图象上存在一点D，使得△AOD的面积等于△AOC面积的4倍，点D的坐标为（2$\sqrt{2}$-2，$\sqrt{2}$+1）．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及待定系数法求函数解析式，根据点的坐标利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键．