在矩形ABCD中.点P在AD上.AB=2.AP=1.将三角板的直角顶点放在点P处.三角板的两直角边分别能与AB.BC边相交于点E.F.连接EF．(1)如图.当点E与点B重合时.点F恰好与点C重合.求此时PC的长,中的位置开始.绕点P顺时针旋转.当点E与点A重合时停止.在这个过程中.请你观察.探究并解答:①∠PEF的大小是否发生变化?请说明理由,②求从开始到停止.线段EF的中� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

在矩形ABCD中，点P在AD上，AB=2，AP=1，将三角板的直角顶点放在点P处，三角板的两直角边分别能与AB、BC边相交于点E、F，连接EF．
（1）如图，当点E与点B重合时，点F恰好与点C重合，求此时PC的长；
（2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点P顺时针旋转，当点E与点A重合时停止，在这个过程中，请你观察、探究并解答：
①∠PEF的大小是否发生变化？请说明理由；
②求从开始到停止，线段EF的中点所经过的路线长．

考点：圆的综合题,直角三角形斜边上的中线,三角形中位线定理,矩形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：综合题

分析：（1）易证△ABP∽△DPC，运用相似三角形的性质就可求出PC的长．
（2）①过点F作FG⊥AD于点G，如图2．易证△APE∽△GFP，利用相似三角形的性质可以证到∠PEF的正切值是定值，从而得到∠PEF的大小不变；
②根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得QP=QB，从而得到点Q在线段PB的垂直平分线上．然后找出点Q的起点和终点，再利用三角形中位线定理就可解决问题．

解答：解：（1）如图1，

在矩形ABCD中，
∵∠A=∠D=90°，AP=1，CD=AB=2，
∴PB=

，∠ABP+∠APB=90°．
∵∠BPC=90°，
∴∠APB+∠DPC=90°．
∴∠ABP=∠DPC．
∴△ABP∽△DPC．
∴

，即

．
∴PC=2

．

（2）①∠PEF的大小不变．
理由：过点F作FG⊥AD于点G，如图2．

∵∠A=∠B=∠AGF=90°，
∴∠AEP+∠APE=90°，四边形ABFG是矩形．
∴GF=AB=2．
∵∠EPF=90°，
∴∠APE+∠GPF=90°．
∴∠GPF=∠AEP．
∴△GPF∽△AEP．
∴

=2．
在Rt△EPF中，
∵tan∠PEF=
PF
PE
=2，
∴∠PEF的大小不变．
②取EF的中点Q，连接BQ，PQ，PB，如图3．

∵∠EBF=∠EPF=90°，点Q为EF的中点，
∴QP=

EF=QB，
∴点Q在线段PB的垂直平分线上．
如图4，

当点E在点B处时，点Q在BC中点Q₁处；
当点E在点A处时，点Q在PB的中点Q₂处．
根据三角形中位线定理得Q₁Q₂=

PC=

．
所以从开始到停止，线段EF的中点Q所经过的路线长Q₁Q₂为

．

点评：本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、锐角三角函数、到线段两个端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上、三角形中位线定理、勾股定理等知识，有一定的综合性．求动点的路径长通常需要以下三步：先确定动点的路径是线段还是圆弧，再确定起点和终点，最后计算路径长．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>