Question

（2012•张家界）如图，抛物线y=-x²+

5 3

3

x+2与x轴交于C、A两点，与y轴交于点B，点O关于直线AB的对称点为D．
（1）分别求出点A、点C的坐标；
（2）求直线AB的解析式；
（3）若反比例函数y=

k

x

的图象过点D，求k的取值；
（4）现有两动点P、Q同时从点A出发，分别沿AB、AO方向向B、O移动，点P每秒移动1个单位，点Q每秒移动

1

2

个单位，设△POQ的面积为S，移动时间为t，问：在P、Q移动过程中，S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值，并求出此时的t值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）抛物线的解析式中，令x=0，能确定抛物线与y轴的交点坐标（即B点坐标）；令y=0，能确定抛物线与x轴的交点坐标（即A、C的坐标）．
（2）由（1）的结果，利用待定系数法可求出直线AB的解析式．
（3）欲求出反比例函数的解析式，需要先得到D点的坐标．已知A、B的坐标，易判断出△OAB是含特殊角的直角三角形，结合O、D关于直线AB对称，可得出OD的长，结合∠DOA的读数，即可得到D点的坐标，由此得解．
（4）首先用t列出AQ、AP的表达式，进而可得到P到x轴的距离，以OQ为底、P到x轴的距离为高，可得到关于S、t的函数关系式，根据函数的性质即可得到S的最大值及此时t的值．

解答：解：（1）∵点A、C均在X轴上，
令y=0，则-x²+

5

3

3

x+2=0；
解得 x₁=-

3

3

，x₂=2

3

．
∴C（-

3

3

，0）、A（2

3

，0）．
令x=0，得y=2，
∴B（0，2）．
综上，A（2

3

，0）、B（0，2）．

（2）令直线AB的解析式为y=k₁x+2，
∵点A（2

3

，0）在直线上，
∴0=2

3

k₁+2
∴k₁=-

3

3

∴直线AB的解析式为y=-

3

3

x+2．

（3）由A（2

3

，0）、B（0，2）得：OA=2

3

，OB=2，AB=4，∠BAO=30°，∠DOA=60°；
∵D与O点关于AB对称，∠DOA=60°，
∴OD=OA=2

3

∴D点的横坐标为

3

，纵坐标为3，即D（

3

，3）．
因为y=

k

x

过点D，
∴3=

k

3

，
∴k=3

3

．

（4）∵AP=t，AQ=

1

2

t，P到x轴的距离：AP•sin30°=

1

2

t，OQ=OA-AQ=2

3

-

1

2

t；
∴S_△OPQ=

1

2

•（2

3

-

1

2

t）•

1

2

t=-

1

8

（t-2

3

）²+

3

2

；
依题意有，

t≤4 1 2 t≤2 3 t＞0

解得0＜t≤4．
∴当t=2

3

时，S有最大值为

3

2

．

点评：该题考查的知识点有：函数解析式的确定、二次函数的性质、图形面积的解法等，在解答动点函数问题时，一定要注意未知数的取值范围．