Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（2，9），与y轴交于点A（0，5），与x轴交于点E、B．

（1）求二次函数y=ax2+bx+c的表达式；
（2）过点A作AC平行于x轴，交抛物线于点C，点P为抛物线上的一点（点P在AC上方），作PD平行与y轴交AB于点D，问当点P在何位置时，四边形APCD的面积最大？并求出最大面积；
（3）若点M在抛物线上，点N在其对称轴上，使得以A、E、N、M为顶点的四边形是平行四边形，且AE为其一边，求点M、N的坐标．

Answer 1

【答案】
（1）

解：设抛物线解析式为y=a（x﹣2）2+9，

∵抛物线与y轴交于点A（0，5），

∴4a+9=5，

∴a=﹣1，

y=﹣（x﹣2）2+9=﹣x2+4x+5

（2）

解：当y=0时，﹣x2+4x+5=0，

∴x1=﹣1，x2=5，

∴E（﹣1，0），B（5，0），

设直线AB的解析式为y=mx+n，

∵A（0，5），B（5，0），

∴m=﹣1，n=5，

∴直线AB的解析式为y=﹣x+5；

设P（x，﹣x2+4x+5），

∴D（x，﹣x+5），

∴PD=﹣x2+4x+5+x﹣5=﹣x2+5x，

∵AC=4，

∴S四边形APCD= ×AC×PD=2（﹣x2+5x）=﹣2x2+10x，

∴当x=﹣ = 时，

∴S四边形APCD最大=

（3）

解：如图，

过M作MH垂直于对称轴，垂足为H，

∵MN∥AE，MN=AE，

∴△HMN≌△AOE，

∴HM=OE=1，

∴M点的横坐标为x=3或x=1，

当x=1时，M点纵坐标为8，

当x=3时，M点纵坐标为8，

∴M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），

∵A（0，5），E（﹣1，0），

∴直线AE解析式为y=5x+5，

∵MN∥AE，

∴MN的解析式为y=5x+b，

∵点N在抛物线对称轴x=2上，

∴N（2，10+b），

∵AE2=OA2+0E2=26

∵MN=AE

∴MN2=AE2，

∴MN2=（2﹣1）2+[8﹣（10+b）]2=1+（b+2）2

∵M点的坐标为M1（1，8）或M2（3，8），

∴点M1，M2关于抛物线对称轴x=2对称，

∵点N在抛物线对称轴上，

∴M1N=M2N，

∴1+（b+2）2=26，

∴b=3，或b=﹣7，

∴10+b=13或10+b=3

∴当M点的坐标为（1，8）时，N点坐标为（2，13），

当M点的坐标为（3，8）时，N点坐标为（2，3）

【解析】（1）设出抛物线解析式，用待定系数法求解即可；（2）先求出直线AB解析式，设出点P坐标（x，﹣x2+4x+5），建立函数关系式S四边形APCD=﹣2x2+10x，根据二次函数求出极值；（3）先判断出△HMN≌△AOE，求出M点的横坐标，从而求出点M，N的坐标．此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数关系式，函数极值的确定方法，平行四边形的性质和判定，解本题的关键是建立函数关系式求极值．
【考点精析】掌握二次函数的最值是解答本题的根本，需要知道如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当x=-b/2a时，y最值=(4ac-b2)/4a．