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    已知：如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，∠C=45°，AB=AD=4．E是直线AD上一点，连接BE，过点E作EF⊥BE交直线CD于点F．连接BF．
    （1）若点E是线段AD上一点（与点A、D不重合），（如图1所示）
    ①求证：BE=EF．
    ②设DE=x，△BEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出此函数的定义域．
    （2）直线AD上是否存在一点E，使△BEF是△ABE面积的3倍？若存在，直接写出DE的长；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）①证明：在AB上截取AG=AE，连接EG．通过ASA证明△BGE≌△EDF，根据全等三角形的性质即可得出BE=EF；
    ②先在Rt△ABE中运用勾股定理求出BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，再根据三角形面积公式，可得y关于x的函数解析式；
    （2）存在．分Ⅰ）当点E在线段AD上时；Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时；Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时；三种情况讨论即可求解．
    解答：（1）①证明：如图1，在AB上截取AG=AE，连接EG，则∠AGE=∠AEG．
    ∵∠A=90°，∠A+∠AGE+∠AEG=180°，
    ∴∠AGE=45°．
    ∴∠BGE=135°．
    ∵AD∥BC，
    ∴∠C+∠D=180°．
    又∵∠C=45°，
    ∴∠D=135°，
    ∴∠BGE=∠D．
    ∵AB=AD，AG=AE，
    ∴BG=DE．
    ∵EF⊥BE，
    ∴∠BEF=90°．
    又∵∠A+∠ABE+∠AEB=180°，
    ∠AEB+∠BEF+∠DEF=180°，
    ∠A=90°，
    ∴∠ABE=∠DEF．
    在△BGE与△EDF中，
    ∠BGE=∠D
    BG=DE
    ∠ABE=∠DEF
    ，
    ∴△BGE≌△EDF（ASA），
    ∴BE=EF；

    ②解：在Rt△ABE中，∵∠A=90°，AB=AD=4，DE=x，
    ∴BE2=AE2+AB2=（4-x）2+42，
    ∵BE=EF，
    ∴y=
    1
    2
    BE•EF=
    1
    2
    BE2=
    1
    2
    ×[（4-x）2+42]=
    x2-8x+32
    2
    ，
    故y关于x的函数解析式为：y=
    x2-8x+32
    2
    ，
    此函数的定义域为：0＜x＜4；

    （2）解：直线AD上存在一点E，能够使△BEF是△ABE面积的3倍．理由如下：
    分三种情况：
    Ⅰ）当点E在线段AD上时，如图1．
    ∵S△ABE=
    1
    2
    AB•AE=
    1
    2
    ×4×（4-x）=8-2x，S△BEF=
    x2-8x+32
    2
    ，
    ∴
    x2-8x+32
    2
    =3×（8-2x），
    整理，得x2+4x-16=0，
    解得x=-2±2
    		5
    （负值舍去），
    则DE=-2+2
    		5
    ；
    Ⅱ）当点E在线段AD延长线上时，如图2，延长AB到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
    ∵AE∥BC，
    ∴∠EBC=∠AEB，
    ∴∠EBC+90°=∠AEB+90°，即∠GBE=∠DEF．
    在△BGE与△EDF中，
    ∠G=∠EDF=45°
    BG=DE
    ∠GBE=∠DEF
    ，
    ∴△BGE≌△EDF（ASA），
    ∴BE=EF．
    ∵S△ABE=
    1
    2
    AB•AE=
    1
    2
    ×4×（4+x）=8+2x，S△BEF=
    1
    2
    BE2=
    1
    2
    ×[（4+x）2+42]=
    x2+8x+32
    2
    ，
    ∴
    x2+8x+32
    2
    =3×（8+2x），
    整理，得x2-4x-16=0，
    解得x=2±2
    		5
    （负值舍去），
    则DE=2+2
    		5
    ；
    Ⅲ）当点E在线段DA延长线上时，如图3，延长BA到G，使BG=DE，连接EG，则△AGE为等腰直角三角形．
    在△BGE与△EDF中，
    ∠G=∠EDF=45°
    BG=DE
    ∠GBE=∠DEF
    ，
    ∴△BGE≌△EDF（ASA），
    ∴BE=EF．
    ∵S△ABE=
    1
    2
    AB•AE=
    1
    2
    ×4×（x-4）=2x-8，S△BEF=
    1
    2
    BE2=
    1
    2
    ×[（x-4）2+42]=
    x2-8x+32
    2
    ，
    ∴
    x2-8x+32
    2
    =3×（2x-8），
    整理，得x2-20x+80=0，
    解得x=10±2
    		5
    ，
    则DE=10±2
    		5
    ；
    综上所述，直线AD上存在点E，使△BEF是△ABE面积的3倍，此时DE的长为2
    		5
    -2或2
    		5
    +2或10±2
    		5
    ．
    点评：本题是四边形综合题，考查了等腰直角三角形的性质，梯形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，综合性较强，有一定的难度．运用数形结合、分类讨论是解题的关键．
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