Question

【题目】如图，等腰△ABC，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，且∠BAC=∠ADE=∠ADF=60°．

（1）在图中找出与∠DAC相等的角，并加以证明；

（2）若AB=6，BE=m，求：AF（用含m的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）∠BDE=∠DAC，证明见解析；（2）AF=6﹣m．

【解析】

（1）首先证明△ABC是等边三角形，再利用三角形的外角的性质解决问题即可．

（2）在DE上截取DG=DF，连接AG，先判定△ADG≌△ADF，得到AG=AF，再根据∠AEG=∠AGE，得出AE=AG，进而得到AE=AF即可解决问题．

解：（1）结论：∠BDE=∠DAC．

理由：∵AB=AC，∠BAC=60°，

∴△ABC是等边三角形，

∴∠C=60°．

∵∠ADB=∠3+∠ADE=∠1+∠C，∠ADE=∠C=60°，

∴∠3=∠1．

（2）如图，在DE上截取DG=DF，连接AG．

∵△ABC是等边三角形，

∴∠B=∠C=60°．

∵∠ADE=∠ADF=60°，AD=AD，

∴△ADG≌△ADF（SAS），

∴AG=AF，∠1=∠2．

∵∠3=∠1，

∴∠3=∠2

∵∠AEG=60°+∠3，∠AGE=60°+∠2，

∴∠AEG=∠AGE，

∴AE=AG，

∴AE=AF=6﹣m．