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    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图所示，在平面直角坐标系中，过坐标原点O的圆M分别交x轴、y轴于点A（6，0）、B（0，-8）．
    （1）求直线AB的解析式；
    （2）若有一条抛物线的对称轴平行于y轴且经过M点，顶点C在圆M上，开口向下，且经过点B，求此抛物线的解析式；
    （3）设（2）中的抛物线与x轴交于D（x1，y1）、E（x2，y2）两点，且x1＜x2，在抛物精英家教网线上是否存在点P，使△PDE的面积是△ABC面积的
    15
    ？若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
    分析：（1）已知了A、B两点的坐标，可用待定系数法求出直线AB的解析式．
    （2）已知了A、B的坐标，M是线段AB的中点，不难得出M点的坐标和圆的半径，据此可求出C点的坐标．然后用顶点式二次函数解析式设抛物线，将B点坐标代入抛物线的解析式中即可求出待定系数的值．也就得出了抛物线的解析式．
    （3）先求出三角形ABC的面积（可将三角形ABC分成三角形AMC和三角形BMC两部分来求）．然后根据三角形ABC与三角形PDE的面积比求出三角形PDE的面积．由于三角形PDE中，DE的长是定值，因此可求出P点的纵坐标的绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出P点坐标．
    解答：解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b
    根据题意，得：
    6k+b=0
    b=-8

    解之，得k=
    4
    3
    ，b=-8精英家教网
    ∴直线AB的解析式为y=
    4
    3
    x-8

    （2）设抛物线对称轴交x轴于F，
    ∵∠AOB=90°，
    ∴AB为圆M的直径，即AM=BM，
    ∴抛物线的对称轴经过点M，且与y轴平行，OA=6，
    ∴对称轴方程为x=3，
    作对称轴交圆M于C，
    ∴MF是△AOB的中位线，
    ∴MF=
    1
    2
    BO=4，
    ∴CF=CM-MF=1，
    ∵点C（3，1），由题意可知C（3，1）就是所求抛物线的顶点．
    方法一：设抛物线解析式为y=a（x-3）2+1，
    ∵抛物线过点B（0，-8），
    ∴-8=a（0-3）2+1，
    解得：a=-1，
    ∴抛物线的解析式为y=-（x-3）2+1或y=-x2+6x-8；

    方法二：∵抛物线过点B（0，-8），
    ∴可设抛物线的解析式为y=ax2+bx-8，
    由题意可得：
    -
    b
    2a
    =3
    4a？(-8)-b2
    4a
    =1
    ，
    ∴a=-1，b=6，
    ∴抛物线的解析式为y=-x2+6x-8；

    （3）令-x2+6x-8=0，得x1=2，x2=4，
    ∴D（2，0），E（4，0），
    设P（x，y），
    则S△PDE=
    1
    2
    •DE•|y|=
    1
    2
    ×2|y|=|y|，
    S△ABC=S△BCM+S△ACM=
    1
    2
    •CM•（3+3）=
    1
    2
    ×5×6=15，
    若存在这样的点P，则有|y|=
    1
    5
    ×15=3，
    从而y=±3，
    当y=3时，-x2+6x-8=3，
    整理得：x2-6x+11=0，
    ∵△=（-6）2-4×11＜0，
    ∴此方程无实数根；
    当y=-3时，-x2+6x-8=-3，
    整理得：x2-6x+5=0，
    解得：x1=1，x2=5，
    ∴这样的P点存在，且有两个这样的点：P1（1，-3），P2（5，-3）．
    点评：本题考查了一次函数与二次函数解析式的确定、函数图象交点、图形面积的求法等知识点．综合性较强，难度适中．
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    9x
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    （1）在图中标出点M，N的位置，并分别写出点M，N的坐标：
     
    ．
    （2）请你依次连接M、N和第三次跳后的点，组成一个封闭的图形，并计算这个图形的面积；
    （3）猜想一下，经过第2009次跳动之后，棋子将落到什么位置．

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    ．

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    （1）求抛物线的解析式，并写出顶点D的坐标；
    （2）如果P点的坐标为（x，y），△PBE的面积为s，求s与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出s的最大值；
    （3）在（2）的条件下，当s取得最大值时，过点P作x的垂线，垂足为F，连接EF，把△PEF沿直线EF折叠，点P的对应点为P'，请直接写出P'点坐标，并判断点P'是否在该抛物线上．

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