Question

【题目】如图，点C为线段AB上一点，分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形，顶角顶点分别为D、E、F（点E、F在AB的同侧，点D在另一侧）

（1）如图1，若点C是AB的中点，则∠CED=______°；

（2）如图2．若点C不是AB的中点

①求证：△DEF为等边三角形；

②连接CD，若∠ADC=90°，AD=，请求出DE的长．

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）①见解析；②

【解析】

（1）如图1，作辅助线，构建高线，根据等腰三角形三线合一的性质得DC=AE=CE，证明∠HED=∠EDC=∠CED，由∠CEH=60°得∠DEC=30°；

（2）①作辅助线，构建等边三角形AEH，先证明四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形，得对边相等，再证明△AEH是等边三角形，由SAS证明△DHE≌△FCE，可得DE=EF，∠DEH=∠FEC，所以△DEF是等边三角形；

②过E作EM⊥AB于M，由∠ADC=90°，∠DAC=30°，AD=得∠ACD=60°，CD=1，AC=2，再证CD=BC=1，证∠ECD=90°，由AE=CE得CM=AC=1，CE=，利用勾股定理求出DE=

解：（1）如图1，过E作EH⊥AB于H，连接CD，

设EH=x，则AE=2x，AH=x，

∵AE=EC，

∴AC=2AH=2x，

∵C是AB的中点，AD=BD，

∴CD⊥AB，

∵∠ADB=120°，

∴∠DAC=30°，

∴DC=2x，

∴DC=CE=2x，

∵EH∥DC，

∴∠HED=∠EDC=∠CED，

∵∠CEH=60°，

∴∠DEC=30°，

故答案为：30°；

（2）①如图2，延长FC交AD于H，连接HE，

∵CF=FB，

∴∠FCB=∠FBC，

∵∠CFB=120°，

∴∠FCB=∠FBC=30°，

同理：∠DAB=∠DBA=30°，∠EAC=∠ECA=30°，

∴∠DAB=∠ECA=∠FBD，

∴AD∥EC∥BF，

同理AE∥CF∥BD，

∴四边形BDHE、四边形AECH是平行四边形，

∴EC=AH，BF=HD，

∵AE=EC，

∴AE=AH，

∵∠HAE=60°，

∴△AEH是等边三角形，

∴AE=AH=HE=CE，∠AHE=∠AEH=60°，

∴∠DHE=120°，

∴∠DHE=∠FCE．

∵DH=BF=FC，

∴△DHE≌△FCE（SAS），

∴DE=EF，∠DEH=∠FEC，

∴∠DEF=∠CEH=60°，

∴△DEF是等边三角形；

②如图3，过E作EM⊥AB于M，

∵∠ADC=90°，∠DAC=30°，AD=，

∴∠ACD=60°，CD=1，AC=2，

∵∠DBA=30°，

∴∠CDB=∠DBC=30°，

∴CD=BC=1，

∵∠ACE=30°，∠ACD=60°，

∴∠ECD=30°+60°=90°，

∵AE=CE，

∴CM=AC=1，

∵∠ACE=30°，

∴CE=，

Rt△DEC中，DE=== ．