【题目】如图,点C为线段AB上一点,分别以AB、AC、CB为底作顶角为120°的等腰三角形,顶角顶点分别为D、E、F(点E、F在AB的同侧,点D在另一侧)
(1)如图1,若点C是AB的中点,则∠CED=______°;
(2)如图2.若点C不是AB的中点
①求证:△DEF为等边三角形;
②连接CD,若∠ADC=90°,AD=,请求出DE的长.
【答案】(1)30°;(2)①见解析;②
【解析】
(1)如图1,作辅助线,构建高线,根据等腰三角形三线合一的性质得DC=AE=CE,证明∠HED=∠EDC=∠CED,由∠CEH=60°得∠DEC=30°;
(2)①作辅助线,构建等边三角形AEH,先证明四边形BDHF、四边形AECH是平行四边形,得对边相等,再证明△AEH是等边三角形,由SAS证明△DHE≌△FCE,可得DE=EF,∠DEH=∠FEC,所以△DEF是等边三角形;
②过E作EM⊥AB于M,由∠ADC=90°,∠DAC=30°,AD=得∠ACD=60°,CD=1,AC=2,再证CD=BC=1,证∠ECD=90°,由AE=CE得CM=AC=1,CE=,利用勾股定理求出DE=
解:(1)如图1,过E作EH⊥AB于H,连接CD,
设EH=x,则AE=2x,AH=x,
∵AE=EC,
∴AC=2AH=2x,
∵C是AB的中点,AD=BD,
∴CD⊥AB,
∵∠ADB=120°,
∴∠DAC=30°,
∴DC=2x,
∴DC=CE=2x,
∵EH∥DC,
∴∠HED=∠EDC=∠CED,
∵∠CEH=60°,
∴∠DEC=30°,
故答案为:30°;
(2)①如图2,延长FC交AD于H,连接HE,
∵CF=FB,
∴∠FCB=∠FBC,
∵∠CFB=120°,
∴∠FCB=∠FBC=30°,
同理:∠DAB=∠DBA=30°,∠EAC=∠ECA=30°,
∴∠DAB=∠ECA=∠FBD,
∴AD∥EC∥BF,
同理AE∥CF∥BD,
∴四边形BDHE、四边形AECH是平行四边形,
∴EC=AH,BF=HD,
∵AE=EC,
∴AE=AH,
∵∠HAE=60°,
∴△AEH是等边三角形,
∴AE=AH=HE=CE,∠AHE=∠AEH=60°,
∴∠DHE=120°,
∴∠DHE=∠FCE.
∵DH=BF=FC,
∴△DHE≌△FCE(SAS),
∴DE=EF,∠DEH=∠FEC,
∴∠DEF=∠CEH=60°,
∴△DEF是等边三角形;
②如图3,过E作EM⊥AB于M,
∵∠ADC=90°,∠DAC=30°,AD=,
∴∠ACD=60°,CD=1,AC=2,
∵∠DBA=30°,
∴∠CDB=∠DBC=30°,
∴CD=BC=1,
∵∠ACE=30°,∠ACD=60°,
∴∠ECD=30°+60°=90°,
∵AE=CE,
∴CM=AC=1,
∵∠ACE=30°,
∴CE=,
Rt△DEC中,DE=== .
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【题目】如图,小涵和小西想要测量建筑物OP与广告牌AB的高度.首先,小涵站在D处看到广告牌AB的顶端A、建筑物OP的顶端O在一条直线上;然后,在阳光下,小西站在N处,此时他的影长为NE,同一时刻,测得建筑物OP的影长为PG,OP⊥PD,AB⊥PD,CD⊥PD,MN⊥PD.
(1)请你画出表示建筑物OP在阳光下的影子PG;
(2)已知NE=1.92m,PG=24m,BD=3m,建筑物OP与广告牌AB之间的距离PB=8.1m,小涵的眼睛到地面的距离CD=1.5m,小西的身高MN=1.6m.
①求出建筑物OP的高度;
②求出广告牌AB的高度.
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【题目】如图,已知△ABC顶点的坐标分别为A(1,-1),B(4,-1),C(3,-4).
(1)将△ABC绕点A逆时针旋转90°后,得到△AB1C1.在所给的直角坐标系中画出旋转后的,并写出点的坐标:____________;
(2)以坐标原点O为位似中心,在第二象限内再画一个放大的,使得它与△ABC的位似比等于2:1 .
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【题目】如图.在平面直角坐标系中,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,1),B(-1,4),C(-3,2),
(1)画△ABC关于y轴对称的图形△A1B1C1;
(2)以O为位似中心,在第二象限内把△ABC扩大到原来的两倍,得则△A2B2C2,画出△A2B2C2;
(3)△ABC的面积为______.
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【题目】已知抛物线c:y=x2+2x﹣3,将抛物线c平移得到抛物线c′,如果两条抛物线,关于直线x=1对称,那么下列说法正确的是( )
A. 将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ B. 将抛物线c沿x轴向右平移4个单位得到抛物线c′
C. 将抛物线c沿x轴向右平移个单位得到抛物线c′ D. 将抛物线c沿x轴向右平移6个单位得到抛物线c′
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【题目】如图,等腰Rt△ABC中,BA=BC,∠ABC=90°,点D在AC上,将△ABD绕点B沿顺时针方向旋转90°后,得到△CBE.
(1)求∠DCE的度数;
(2)若AB=4,CD=3AD,求DE的长.
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【题目】垫球是排球队常规训练的重要项目之一,也是我市初中体育学业水平考试的一个选考项目.下列图表中的数据是从九年级一班、二班各随机抽取五名学生垫球测试成绩:
测试学生序号 | ① | ② | ③ | ④ | ⑤ |
一班 | 7 | 8 | 6 | 7 | 7 |
二班 | 4 | 8 | 7 | 10 | 6 |
解答下列问题:
(1)一班五名学生的测试成绩的众数是 ,二班五名学生的测试成绩的中位数是 .
(2)请你在图中补全二班五名学生的垫球测试成绩的折线统计图.从题中的信息,估计 班的垫球成绩要稳定.
(3)把前三次对应序号下一班学生的垫球测试成绩减去二班学生垫球测试成绩,分别可得到数字3、0、﹣1,从这三个数中任意选取两个数组成有序数对(x,y),请用列表法或画树状图法列出可能出现的结果,并计算点(x,y)落在二次函数y=x2﹣1的图象上的概率.
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