Question

5．如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，在AB上取一点E，以BE为直径的☉O恰与AC相切于点D．若AE=2，AD=4．则☉O的直径BE=6；△ABC的面积为24．

Answer 1

分析 连接OD，由切线的性质可知△OAD为直角三角形，设半径为x，在Rt△AOD中由勾股定理可列方程，可求得x的值，则可求得BE的长；再由条件可证明△AOD∽△ACB，由相似三角形的性质可求得BC的长，则容易求得△ABC的面积．

解答 解：
如图，连接OD，
∵AC与⊙O相切，
∴OD⊥AC，
设⊙O的半径为x，
则OE=OB=OD=x，
∴AO=AE+OE=2+x，
在Rt△AOD中，由勾股定理可得AO²=OD²+AD²，
即（2+x）²=x²+4²，解得x=3，
∴BE=2x=6，
∴AB=AE+BE=2+6=8，
∵∠ABC=∠ADO=90°，∠OAD=∠CAB，
∴△AOD∽△ACB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{OD}{BC}$，即$\frac{4}{8}$=$\frac{3}{BC}$，解得BC=6，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB•BC=$\frac{1}{2}$×8×6=24，
故答案为：6；24．

点评 本题主要考查切线的性质，掌握过切点的半径与切线垂直是解题的关键．