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已知:如图,点E,F,P,Q分别是正方形ABCD的四条边上的点,并且AF=BP=CQ=DE.
求证:(1)EF=FP=PQ=QE;
(2)四边形EFPQ是正方形.
分析:(1)由四边形ABCD是正方形,∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,又由AF=BP=CQ=DE,即可得DF=CE=BQ=AP,然后利用SAS即可证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP,即可证得EF=FP=PQ=QE;
(2)由EF=FP=PQ=QE,可判定四边形EFPQ是菱形,又由△APF≌△BPQ,易得∠FPQ=90°,即可证得四边形EFPQ是正方形.
解答:证明:(1)∵四边形ABCD是正方形,
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=AD,
∵AF=BP=CQ=DE,
∴DF=CE=BQ=AP,
在△APF和△DFE和△CEQ和△BQP中,
AF=DE=CQ=BP
∠A=∠D=∠C=∠B
AP=DF=CE=BQ

∴△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP(SAS),
∴EF=FP=PQ=QE;

(2)∵EF=FP=PQ=QE,
∴四边形EFPQ是菱形,
∵△APF≌△BQP,
∴∠AFP=∠BPQ,
∵∠AFP+∠APF=90°,
∴∠APF+∠BPQ=90°,
∴∠FPQ=90°,
∴四边形EFPQ是正方形.
点评:此题考查了正方形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质.此题难度适中,注意解题的关键是证得△APF≌△DFE≌△CEQ≌△BQP.
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