Question

如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径作⊙O交AC边于点D，E是边BC的中点，连接DE．
（1）求证：直线DE是⊙O的切线；
（2）连接OC交DE于点F，若OF=CF，求tan∠ACO的值．

Answer 1

分析：（1）要证明直线DE是⊙O的切线，只要证明∠ODE=90°即可．
（2）作OH⊥AC于点H，由tan∠ACO=OH：HC，分别求得OH，HC的值可找出其关系即可得到tan∠ACO的值．

解答：（1）证明：连接OD、OE、BD，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠CDB=∠ADB=90°，
∵E点是BC的中点，
∴DE=CE=BE．
∵OD=OB，OE=OE，
∴△ODE≌△OBE（SSS），
∴∠ODE=∠OBE=90°，
∴直线DE是⊙O的切线．

（2）解：作OH⊥AC于点H，
∵OA=OB，
∴OE∥AC，且OE=

1

2

AC，
∴∠CDF=∠OEF，∠DCF=∠EOF；
∵CF=OF，
∴△DCF≌△EOF（AAS），
∴DC=OE=AD，
∴四边形CEOD为平行四边形，
∴CE=OD=OA=

1

2

AB，
∴BA=BC，
∴∠A=45°；
∵OH⊥AD，
∴OH=AH=DH，
∴CH=3OH，
∴tan∠ACO=

OH

CH

=

1

3

．

点评：此题考查了学生对全等三角形的判定方法及切线的判定等知识的掌握情况．