已知:在△AOB中.AB=42.OB=6.∠B=45°.以O为原点.所在直线为x轴建立直角坐标系 (1)写出点A的坐标:(2.4)(2.4),(2)C为线段OB上的动点.D为线段AB上的动点.且始终有CD∥OA.若C由O向B运动的距离OC=x.△ACD的面积为y①求y与x之间的函数关系式,②是否存在这样的点D.使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍?若存在.请求出点D的坐标.否则� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：在△AOB中，AB=4

，OB=6，∠B=45°，以O为原点，所在直线为x轴建立直角坐标系
（1）写出点A的坐标：

（2，4）

；
（2）C为线段OB上的动点，D为线段AB上的动点，且始终有CD∥OA，若C由O向B运动的距离OC=x，△ACD的面积为y
①求y与x之间的函数关系式；
②是否存在这样的点D，使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍？若存在，请求出点D的坐标，否则请说明理由．

分析：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，解等腰直角三角形ABG，得到AG=BG=

AB=4，则OG=2，进而求出点A的坐标；
（2）①过点D作DH⊥x轴于点H，由CD∥OA，得出△BCD∽△BOA，根据相似三角形对应高的比等于相似比得出DH=

（6-x），再由S_△ACD=S_△ABC-S_△BCD，将数据代入，即可得出y与x之间的函数关系式；
②根据△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍，列出关于x的方程，解方程求出x的值，进而得到点D的坐标．

解答：

解：（1）过点A作AG⊥x轴于点G，则∠AGB=90°．
在Rt△ABG中，∵∠AGB=90°，AB=4

，∠B=45°，
∴AG=BG=4

=4，
∴OG=OB-BG=6-4=2，
∴点A的坐标为（2，4）．
故答案为（2，4）；

（2）①过点D作DH⊥x轴于点H．
∵CD∥OA，
∴△BCD∽△BOA，
∴

，即

6-x

，
∴DH=

（6-x）．
∵S_△ACD=S_△ABC-S_△BCD=

BC•AG-

BC•DH，
∴y=

（6-x）×4-

（6-x）•

（6-x）=-

x²+2x，
即y与x之间的函数关系式为y=-

x²+2x；

②存在这样的点D，能够使△AOC的面积等于△ACD的面积的2倍．
∵S_△AOC=

OC•AG=

x×4=2x，
∴2x=2（-

x²+2x），
整理，得

x²-x=0，
解得x₁=3，x₂=0（不合题意舍去），
∴x=3．
当x=3时，BH=DH=

（6-x）=

×（6-3）=2，
∴OH=OB-BH=6-2=4，
∴点D的坐标为（4，2）．

点评：本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，综合性较强，难度适中，得出DH的长度是解题的关键．

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AD=2OM

，位置关系是

AD⊥OM

；
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（3）如图3，将图1中的 △COD绕点 O逆时针旋转到使 △COD的一边OD恰好与△AOB的边OA在同一条直线上时，点C落在OB上，点M为线段BC的中点．

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