已知:抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于A、B两点,与y轴交于点C,其中点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,线段OB、OC的长(OB<OC)是方程x2-10x+16=0的两个根,且抛物线的对称轴是直线x=-2.
(1)求A、B、C三点的坐标;
(2)求此抛物线的表达式;
(3)求△ABC的面积;
(4)若点E是线段AB上的一个动点(与点A、点B不重合),过点E作EF∥AC交BC于点F,连接CE,设AE的长为m,△CEF的面积为S,求S与m之间的函数关系式,并写出自变量m的取值范围;
(5)在(4)的基础上试说明S是否存在最大值,若存在,请求出S的最大值,并求出此时点E的坐标,判断此时△BCE的形状;若不存在,请说明理由.
解:(1)解方程x2-10x+16=0得x1=2,x2=8 ∵点B在x轴的正半轴上,点C在y轴的正半轴上,且OB<OC ∴点B的坐标为(2,0),点C的坐标为(0,8) 又∵抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2 ∴由抛物线的对称性可得点A的坐标为(-6,0) ∴A、B、C三点的坐标分别是A(-6,0)、B(2,0)、C(0,8) (2)∵点C(0,8)在抛物线y=ax2+bx+c的图象上 ∴c=8,将A(-6,0)、B(2,0)代入表达式y=ax2+bx+8,得 解得 ∴所求抛物线的表达式为y=-x2-x+8 (3)∵AB=8,OC=8 ∴S△ABC=×8×8=32 (4)依题意,AE=m,则BE=8-m, ∵OA=6,OC=8,∴AC=10 ∵EF∥AC ∴△BEF∽△BAC ∴= 即=∴EF= 过点F作FG⊥AB,垂足为G,则sin∠FEG=sin∠CAB= ∴= ∴FG=·=8-m ∴S=S△BCE-S△BFE=(8-m)×8-(8-m)(8-m) =(8-m)(8-8+m)=(8-m)m=-m2+4m 自变量m的取值范围是0<m<8 (5)存在.理由: ∵S=-m2+4m=-(m-4)2+8 且-<0, ∴当m=4时,S有最大值,S最大值=8 ∵m=4,∴点E的坐标为(-2,0) ∴△BCE为等腰三角形. |
科目:初中数学 来源: 题型:
已知抛物线y=ax 2+bx-4a经过A(-1,0)、C(0,4)两点,与x轴交于另一点B.
(1)求抛物线的解析式;
(2)若点D(m,m+1)在第一象限的抛物线上, 求点D关于直线BC对称的点的坐标;
(3)在(2)的条件下,连结BD,若点P为抛物线上一点,且∠DBP=45°,求点P的坐标.
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科目:初中数学 来源: 题型:
已知抛物线y=ax+bx+c与轴交于两点,若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根,与轴交于点(0,3),
1.(1)求抛物线的解析式;
2.(2)在此抛物线上求点,使.
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科目:初中数学 来源:2011-2012学年北京师大附中九年级上学期期中考试数学卷 题型:解答题
已知抛物线y=ax+bx+c与轴交于两点,若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根,与轴交于点(0,3),
1.(1)求抛物线的解析式;
2.(2)在此抛物线上求点,使.
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科目:初中数学 来源:2011-2012年北京师大附中九年级第一学期期中考试数学卷 题型:解答题
已知抛物线y=ax+bx+c与轴交于两点,若两点的横坐标分别是一元二次方程的两个实数根,与轴交于点(0,3),
1.(1)求抛物线的解析式;
2.(2)在此抛物线上求点,使.
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科目:初中数学 来源:2012届湖南省九年级下学期第一次月考考试数学卷 题型:选择题
.(13分)已知抛物线y=ax 2+bx+c经过O(0,0),A(4,0),B(3,)三点,连接AB,过点B作BC∥轴交抛物线于点C.动点E、F分别从O、A两点同时出发,其中点E沿线段OA以每秒1个单位长度的速度向A点运动,点F沿折线A→B→C以每秒1个单位长度的速度向C点运动.设动点运动的时间为t(秒).
(1)求抛物线的解析式;
(2)记△EFA的面积为S,求S关于t的函数关系式,并求S的最大值,指出此时△EFA的形状;
(3)是否存在这样的t值,使△EFA是直角三角形?若存在,求出此时E、F两点的坐标;若不存在,请说明理由.
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