Question

如图，有一直径MN=4的半圆形纸片，其圆心为点P，从初始位置Ⅰ开始，在无滑动的情况下沿数轴向右翻滚至位置Ⅴ，其中，位置Ⅰ中的MN平行于数轴，且半⊙P与数轴相切于原点O；位置Ⅱ和位置Ⅳ中的MN垂直于数轴；位置Ⅲ中的MN在数轴上；位置Ⅴ中半⊙P与数轴相切于点A，且此时△MPA为等边三角形．
解答下列问题：（各小问结果保留π）
（1）位置Ⅰ中的点O到直线MN的距离为______；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是______；
（2）位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为______；
（3）求OA的长．

Answer 1

解：（1）∵⊙P的直径=4，
∴⊙P的半径=2，
∵⊙P与直线有一个交点，
∴位置Ⅰ中的MN与数轴之间的距离为2；位置Ⅱ中的半⊙P与数轴的位置关系是相切；
故答案为：2，相切；
（2）位置Ⅰ中弧ON的长与数轴上线段ON相等，
弧ON的长为=π，NP=2，
∴位置Ⅲ中的圆心P在数轴上表示的数为π+2，
故答案为：π+2；
（3）∵△MPA为等边三角形，
∴∠MPA=60°．
从而弧MA的长为=，于是OA的长为π+4+=π+4．
分析：（1）先求出圆的半径，再根据切线的性质进行解答；
（2）根据位置Ⅰ中弧ON的长与数轴上线段ON相等，利用弧长公式求出弧ON的长，进而可得出结论；
（3）根据△MPA为等边三角形，故可利用弧长公式求出的长，进而得出结论．
点评：本题考查的是直线与圆的关系、弧长的计算、扇形的面积公式，在解答此题时要注意Ⅰ中弧ON的长与数轴上线段ON相等的数量关系．