Question

已知关于x的一元二次方程x²+kx-2=0，
（1）求证：方程总有两个不相等的实数根；
（2）设方程两实数根分别为x₁，x₂，且满足x₁+x₂=x₁x₂，求k的值；
（3）若方程两根互为相反数，求这两个根．

Answer 1

分析：（1）根据一元二次方程的根的判别式，证明判别式的值恒大于0即可；
（2）依据根与系数的关系可以得到关于k的方程，从而求得k的值；
（3）方程两根互为相反数，即和是0，由根与系数的关系可得-k=0，即可求得k的值和方程的两根．

解答：（1）证明：由题意知△=b²-4ac=k²+8
不论k取何值，△恒大于0
所以方程总有两个不相等的实数根；

（2）解：由题意知

x1+ x2 =-k x1• x2 =-2

又x₁+x₂=x₁•x₂
解得k=2；

（3）解：若方程两根互为相反数
则x₁+x₂=0即k=0
所以原方程可化为：x²-2=0
解得x1 = 

2

， x2 =- 

2

．

点评：本题是对一元二次方程的根的判别式以及根与系数的关系的考查，考查的内容比较广泛．