Question

12．如图，在三角形ABC中，∠C=90度，AD是角平分线，CD=1.5，BD=2.5，求AC的长．

Answer 1

分析 过点D作DE⊥AB于E，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得CD=DE，再利用勾股定理列式求出BE，然后求出△ABC和△DBE相似，根据相似三角形对应边成比例列式计算即可得解．

解答 解：过点D作DE⊥AB于E，
∵∠C=90度，AD是角平分线，
∴CD=DE，
由勾股定理得，BE=$\sqrt{B{D}^{2}-D{E}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-1．{5}^{2}}$=2，
∵∠ABC=∠DBE，∠C=∠BED=90°，
∴△ABC∽△DBE，
∴$\frac{AC}{DE}$=$\frac{BC}{BE}$，
即$\frac{AC}{1.5}$=$\frac{1.5+2.5}{2}$，
解得AC=3．

点评 本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，相似三角形的判定与性质，熟记性质并考虑利用相似三角形求解是解题的关键．