Question

若正整数a，b是关于x的方程x²-

a2-9

13

x+10b+56+5

205+52b

=0的两个根，求a，b．

Answer 1

考点：一元二次方程的整数根与有理根

专题：

分析：首先利用韦达定理得出关于a，b的等式，进而解方程得出a的值，再利用a，b为正整数得出符合题意值即可．

解答：解：根据韦达定理可得出：

a+b= a2-9 13 ① ab=10b+56+5 205+52b ②

，
由①得：a²-13a-13b-9=0，
解得关于a的方程得：a₁=

13+ 205+52b

2

，a₂=

13- 205+52b

2

＜0，（∵a，b是正整数，故舍去），
∴a=

13+ 205+52b

2

，
∴

205+52b

=2a-13代入②得：ab=10b+56+5（2a-13）
则-10a-10b+ab=-9，
故（a-10）（b-10）=91=1×91=7×13，
∵a，b是正整数，
∴

a-10=1 b-10=91

或

a-10=91 b-10=1

或

a-10=7 b-10=13

或

a-10=13 b-10=7

，
解得：

a=11 b=101

或

a=101 b=11

或

a=17 b=23

或

a=23 b=17

，
经检验

a=23 b=17

满足①、②，
故

a=23 b=17

．

点评：此题主要考查了一元二次方程的整数根与有理根，利用韦达定理得出关于a，b的等式是解题关键．