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如图,以矩形OCPD的顶点O为原点,它的两条边所在的直线分别为x轴和y轴建立直角坐标系.以点P为圆心,PC为半径的⊙P与x轴的正半轴交于A、B两点,函数y=ax2+bx+4过A,B,C三点且AB=6.
(1)求⊙P的半径R的长;
(2)若点E在y轴上,且△ACE是等腰三角形,试写出所有点E的坐标.
考点:圆的综合题
专题:
分析:(1)在函数y=ax2+bx+4中令x=0,解得y=4,则OC=PD=4,连接PA,在直角三角形△PAD中,根据勾股定理就可以得到PA的长.即圆的半径;
(2)根据等腰三角形的性质,把AC分别看作底和腰进行讨论.
解答:解:(1)如图,连接AP,

∵四边形ODPC为矩形,
∴PD⊥AB,
∴AD=BD=
1
2
AB=3,
又∵抛物线y=ax2+bx+4经过A,B,C三点,
∴C(0,4),
即OC=4,
∴PD=OC=4,
∴由勾股定理得AP=5,
∴⊙P的半径R的长为5;
(2)由(1)得OA=PC-AD=5-3=2,OC=4,则AC=
OA2+OC2
=2
5

设E点坐标为(0,y),当△ACE是等腰三角形时,有三种情况,
①当AC=CE时,则有|y-4|=2
5
,解得y=4+2
5
和y=4-2
5
,此时E点坐标为E1(0,4+2
5
),E2(0,4-2
5
);
②当AC=AE时,因为O为AE中点,所以OE=OC=4,此时E点坐标为E3(0,-4);
③当CE=AE时,则CE=|y-4|,OE=|y|,OA=2,在Rt△OAE中由勾股定理可得:|y-4|2=|y|2+22,解得y=
3
2
,此时E点坐标为(0,
3
2
);
综上可知E点的坐标为E1(0,4+2
5
),E2(0,4-2
5
),E3(0,-4)(0,
3
2
).
点评:本题主要考查垂径定理及矩形的性质、等腰三角形的性质的综合应用,熟练掌握垂径定理即垂直于弦的直径平分这条弦,并且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键.
练习册系列答案
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EC.(填“>““<““=“)
(2)若OA<3时(如图2),(1)中的关系是否还成立?为什么?
(3)当⊙O过BC中点时(如图3),求CE长.

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(2)化简:
1
x+2
-
x2-4x+4
x2-x
÷(x+1-
3
x-1

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[1
1
4
-(
3
8
+
1
6
-
3
4
)×24]÷5.

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下列说法正确的是(  )
A、0.720精确到千位
B、3.6万精确到个位
C、5.078精确到千分位
D、3.3998精确到百分位为3.39

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