Question

（1）n为自然数，若n+6|n³+1996，则称n为1996的吉祥数，如4+6|4³+1996，4就是1996年的一个吉祥数．试求1996年的所有吉祥数的和．
（2）计算：

12

12-100+5000

+

22

22-200+5000

+…+

k2

k2-100k+5000

+

992

992-9900+5000

．

Answer 1

分析：（1）由于n³+1996的次数高于n+6的次数，所以，通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决，是解本例的关键；（2）首尾配对，考查一般情形，把数值计算转化为分式的运算

解答：解：（1）因n+6|（n³+6³）+1780，而n+6|n³+6³整除，故n+6|1780，得n=4，14，83，172，350，439，884，1774，所以，所有吉祥数的和为4+14+83+172+350+439+884+1774=3720．
（2）∵

n2

n2-100n+5000

+

(100-n)2

(100-n)2-100(100-n)+5000

=

2n2-200n+10000

n2-100n+5000

=2
∴原式=49×2+1=99

点评：本题考查数的整除性问题以及对规律性问题的考查，关键是通过变形将两个整式整除的问属转化为一个分式的问题来解决以及首尾配对，把数值计算转化为分式的运算．