Question

16．在Rt△ABC中，∠C=90°，由下列条件解直角三角形：
①已知：c=20，∠A=60°，求a；
②∠A=60°，斜边上的高是$\sqrt{3}$，求AB，AC，BC的长．
（1）在横线上填上合适的内容：
解：①sinA=$\frac{a}{c}$，
∴a=csinA=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．
②如图，∵∠A=60°，∴∠B=30°．
∴BC=2CD=2$\sqrt{3}$．
∵sinA=$\frac{CD}{AC}$，∴AC=$\frac{CD}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
∴AB=2×2=4．
（2）体验上述解题过程，解答下题：
在△ABC中，∠C=90°，由下列条件解直角三角形：
①已知：b=3，∠A=60°，求a；
②已知：a=5，sinB=$\frac{2}{3}$，求b．

Answer 1

分析 （1）①根据正弦函数的定义即可求解；
②根据直角三角形两锐角互余可得∠B的度数，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半得出BC=2CD=2$\sqrt{3}$，根据正弦函数的定义将sinA=$\frac{CD}{AC}$变形，可得AC=$\frac{CD}{sinA}$=2；
（2）①利用∠A的正切函数定义即可求出a的值；
（2）设b=2x，则c=3x，再根据勾股定理列出方程，即可求解．

解答 解：（1）①∵在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=$\frac{a}{c}$，
∴a=csinA=20×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=10$\sqrt{3}$．
故答案为$\frac{a}{c}$；

②如图，∵∠A=60°，∴∠B=30°．
∴BC=2CD=2$\sqrt{3}$．
∵sinA=$\frac{CD}{AC}$，∴AC=$\frac{CD}{sinA}$=$\frac{\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2．
∴AB=2×2=4．
故答案为30°，2$\sqrt{3}$，$\frac{CD}{sinA}$=；

（2）①∵在△ABC中，∠C=90°，b=3，∠A=60°，
∴tanA=$\frac{a}{b}$，
∴a=b•tanA=3$\sqrt{3}$；

②∵在△ABC中，∠C=90°，sinB=$\frac{2}{3}$，
∴可设b=2x，则c=3x，
∵a²+b²=c²，
∴5²+（2x）²=（3x）²，
∴x=±$\sqrt{5}$（负值舍去）
∴b=2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．在计算过程中尽量使用原始数据．