【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形ABCD的顶点A、D在坐标轴上,其坐标分别为(2,0),(0,4),对角线AC⊥x轴.
(1)求直线DC对应的函数解析式
(2)若反比例函数y= (k>0)的图象经过DC的中点M,请判断这个反比例函数的图象是否经过点B,并说明理由.
【答案】
(1)解:如图所示:过点D作DE⊥AC,垂足为E.
∵DE⊥AC,AC∥y轴,
∴∠EDO=90°.
∴∠EDA+∠ODA=90°.
又∵ABCD为矩形,
∴∠CDE+∠ADE=90°.
∴∠CDE=∠ODA.
又∵∠DOA=∠DEC=90°,
∴△DAO∽△DCE.
∴ =
,即
=
,解得EC=1.
∴C(2,5).
设直线DC的解析式为y=kx+4,将点C的坐标代入得:2k+4=5,解得k= .
∴直线CD的解析式为y= x+4
(2)解:过点D作DE⊥AC,过点B作BF⊥AC.
∵DE⊥AC,BF⊥AC.
∴∠DEC=∠BFA=90°.
∵DC∥AB,
∴∠DCE=∠FAB.
在△DEC和△BAF中 ,
∴△DEC≌△BAF.
∴DE=BF=2,EC=AF=1.
∴B(4,1).
∵D(0,4),C(2,5),
∴CD中点M的坐标为(1, ).
∴k=1× =
.
∵4×1=4≠ ,
∴点B不在反比例函数图象上
【解析】过点D作DE⊥AC,垂足为E.先证明△DAO∽△DCE,依据相似三角形的性质可求得EC=1,从而可求得EC的长,故此可得到点C的坐标,设直线DC的解析式为y=kx+4,将点C的坐标代入求解即可;(2)过点D作DE⊥AC,过点B作BF⊥AC.先证明△DEC≌△BAF,从而可求得点B的坐标,然后再求得反比例反函数比例系数k的值,然后根据点B的坐标是否符合函数解析式进行判断即可.
【考点精析】通过灵活运用确定一次函数的表达式和矩形的性质,掌握确定一个一次函数,需要确定一次函数定义式y=kx+b(k不等于0)中的常数k和b.解这类问题的一般方法是待定系数法;矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等即可以解答此题.
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【题目】如图,已知数轴上点A表示的数为8,B是数轴上一点,且AB=14.
(1)写出数轴上点B表示的数;
(2)若点M、N分别是线段AO、BO的中点,求线段MN的长;
(3)若动点P从点A出发.以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,动点Q从点B出发,以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动,若点P、Q同时出发.问点P运动多少秒时追上点Q?
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【题目】为顺利通过“国家文明城市”验收,东营市政府拟对城区部分路段的人行道地砖、绿化带、排水管道等公用设施全面更新改造,根据市政建设的需要,需在40天内完成工程.现有甲、乙两个工程队有意承包这项工程,经调查知道,乙工程队单独完成此项工程的时间是甲工程队单独完成此项工程时间的2倍,若甲、乙两工程队合作只需10天完成.
(1)甲、乙两个工程队单独完成此项工程各需多少天?
(2)若甲工程队每天的工程费用是4.5万元,乙工程队每天的工程费用是2.5万元,请你设计一种方案,既能按时完工,又能使工程费用最少.
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【题目】如图.AB是⊙O的直径,E为弦AP上一点,过点E作EC⊥AB于点C,延长CE至点F,连接FP,使∠FPE=∠FEP,CF交⊙O于点D.
(1)证明:FP是⊙O的切线;
(2)若四边形OBPD是菱形,证明:FD=ED.
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【题目】如图,抛物线y=x2+bx+c与x轴交于点A,B,与y轴交于点C,其中点A在y轴的左侧,点C在x轴的下方,且OA=OC=5.
(1)求抛物线对应的函数解析式;
(2)点P为抛物线对称轴上的一动点,当PB+PC的值最小时,求点P的坐标;
(3)在(2)条件下,点E为抛物线的对称轴上的动点,点F为抛物线上的动点,以点P、E、F为顶点作四边形PEFM,当四边形PEFM为正方形时,请直接写出坐标为整数的点M的坐标.
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【题目】点A、B在数轴上分别表示实数、
,A、B两点之间的距离记作AB.
当A、B两点中有一点为原点时,不妨设A点在原点.如图①所示,则AB=OB==
.
当A、B两点都不在原点时:
(1)如图②所示,点A、B都在原点的右边,不妨设点A在点B的左侧,则AB=OB-OA==
=
=
(2)如图③所示,点A、B都在原点的左边,不妨设点A在点B的右侧,则AB=OB-OA==
=
=
(3)如图④所示,点A、B分别在原点的两边,不妨设点A在点O的右侧,则AB=OB+OA==
=
回答下列问题:
(1)综上所述,数轴上A、B两点之间的距离AB= .
(2)数轴上表示2和-4的两点A和B之间的距离AB= .
(3)数轴上表示和-2的两点A和B之间的距离AB= ,如果AB=2,则
的值为 .
(4)若代数式有最小值,则最小值为 .
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【题目】已知点O到△ABC的两边AB,AC所在直线的距离相等,且OB=OC.
(1)如图1,若点O在边BC上,求证:∠ABC=∠ACB;
(2)如图2,若点O在△ABC的内部,则∠ABC=∠ACB成立吗?并说明理由;
(3)若点O在△ABC的外部,则∠ABC=∠ACB成立吗?请画图表示.
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