Question

在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，M是AD边的中点，P是AB边上的一个动点（不与A、B重合），PM的延长线交射线CD于Q点，MN⊥PQ交射线BC于N点．

（1）若点N在BC边上时，如图1．
①求证：PN=QN；
②请问

PM

PN

是否为定值？若是定值，求出该定值；若不是，请举反例说明；
（2）当△PBN与△NCQ的面积相等时，求AP的值．

Answer 1

考点：四边形综合题

专题：

分析：（1）①由矩形的性质证明△APM≌△QDM就可以得出PPM=QM，再由MN⊥PQ就可以得出结论；
②作ME⊥BC于E，证明△AMP∽△EMN，由相似三角形的性质既可以求出PM与MN的关系，再由勾股定理表示出PN就可以求出结论；
（2）分两种情况，如图2，如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，通过证明Rt△BFS≌Rt△CGT和△PBN≌△QCN，进一步由全等三角形的性质就可以得出结论．

解答：解：（1）①∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠ADC=∠ABC=∠BCD=90°．AB∥CD，AD∥BC．
∴∠A=∠ADQ，∠APM=∠DQM．
∵M是AD边的中点，
∴AM=DM．
在△APM和△QDM中

∠A=∠ADQ ∠APM=∠DQM AM=DM

，
∴△APM≌△QDM（AAS），
∴PM=QM．
∵MN⊥PQ，
∴MN是线段PQ的垂直平分线，
∴PN=QN；
②

PM

PN

=

3

5

是定值
理由：作ME⊥BC于E，
∴∠MEN=∠MEB=90°，∠AME=90°，
∴四边形ABEM是矩形，∠MEN=∠MAP，
∴AB=EM．
∵MN⊥PQ
∴∠PMN=90°，
∴∠PMN=∠AME，
∴∠PMN-∠PME=∠AME-∠PME，
∴∠EMN=∠AMP，
∴△AMP∽△EMN，
∴

AM

EM

=

PM

MN

，
∴

AM

AB

=

PM

MN

．
∵AD=6，M是AD边的中点，
∴AM=

1

2

AD=3．
∵AB=4，
∴

PM

MN

=

3

4

．
在Rt△PMN中，设PM=3a，MN=4a，由勾股定理，得
PN=5a，
∴

PM

PN

=

3

5

；

（2）如图2，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，
∴∠BFS=∠CGT=90°，BS=

1

2

PN，CT=

1

2

QN，

∵PN=QN，S_△PBN=S_△NCQ，
∴BF=CG，BS=CT．
在Rt△BFS和Rt△CGT中

BS=CT BF=CG

，
∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP=

1

2

∠BSF=

1

2

∠CTG=∠CQN，
即∠BNP=∠CQN．
在△PBN和△QCN中

∠BNP=∠CQN ∠PBN=∠NCQ PN=QN

，
∴△PBN≌△QCN
∴BN=CN
∴AP=0（不合题意，舍去）；
如图3，作BF⊥PN于F，CG⊥QN于G，作中线BS、CT，
∴∠BFS=∠CGT=90°，BS=

1

2

PN，CT=

1

2

QN，
∵PN=QN，S_△PBN=S_△NCQ，
∴BF=CG，BS=CT．
在Rt△BFS和Rt△CGT中

BS=CT BF=CG

，
∴Rt△BFS≌Rt△CGT（HL），
∴∠BSF=∠CTG
∴∠BNP=

1

2

∠BSF=

1

2

∠CTG=∠CQN，
即∠BNP=∠CQN．
在△PBN和△QCN中

∠BNP=∠CQN ∠PBN=∠NCQ PN=QN

，
∴△PBN≌△QCN
∴PB=NC，BN=CQ．
∵AP=DQ
∴AP+BP=AB=4，AP+4=DQ+CD=BC+CN=6+BP
∴AP-BP=2
∴2AP=6
∴AP=3．

点评：本题考查了矩形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，勾股定理了的运用，相似三角形的判定及性质的运用，垂直平分线的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是解答本题的关键．