Question

17．如图，在平面直角坐标系中，直线y=3x+3分别交x轴，y轴于点A、B，直线y=-2x+6过点C（1，4）且交x轴于点D，直线AB与直线CD交于点E．
（1）填空：∠DBC=90°；∠EBC+∠BDE=45°．
（2）求点E的坐标；
（3）若点P（-4，0），在直线AB上取一点M，使得∠PMA=∠E，求直线PM的解析式．

Answer 1

分析 （1）由y=3x+3和y=-2x+6，求得A（-1，0），B（0，3），D（3，0），根据勾股定理求出AB=10，BD=32，由等腰直角三角形，得到∠FBC=∠OBD=45°，
∠CBD=90°，根据三角形相似，对顶角相等，等量代换，外角的性质，得到∠EBC+∠BDE=45°；
（2）由{y=3x+3y=-2x+6得{x=35y=245，从而得到E（35，245）；
（3）由△DBC∽△BOA，得到∠DCB=∠OAB，∠BCE=∠PAN，因为∠PMA=∠E，所以△BEC∽△PAM，列方程求出PM=955，根据点M在直线AB上，设出点M的坐标，由勾股定理列出方程求出点M的坐标，应用待定系数法直线PM的解析式．

解答 解：（1）过点C作CF⊥y轴于F，
在y=3x+3中，当x=0，得y=3，当y=0，x-1，
在y=-2x+6中，当x=0，得y=6，当y=0，x=3，
∴A（-1，0），B（0，3），D（3，0），
∴OA=1，OB=3，OD=3，
∴AB=$\sqrt{10}$，BD=3$\sqrt{2}$，
∵C（1，4），
∴CF=1，BF=1，
∴BC=$\sqrt{2}$，
∴∠FBC=∠OBD=45°，
∴∠CBD=90°，
∵$\frac{BC}{OA}$=$\frac{BD}{OD}$=$\sqrt{2}$，∠BOA=∠DOC=90°，
∴△DBC∽△BOA，
∴∠BDC=∠ABO，∵∠ABO=∠EBF，
∴∠BDC=∠FBE，
∴∠EBC+∠BDE=45°；
（2）解$\left\{\begin{array}{l}{y=3x+3}\\{y=-2x+6}\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{5}}\\{y=\frac{24}{5}}\end{array}\right.$，
∴E（$\frac{3}{5}$，$\frac{24}{5}$）；

（3）如图2过点M作MN⊥x轴于N，
设M（m，3m+6），
∴MN=3m+6，PN=4+m，
∵P（-4，0），
∴AP=3，
由（1）得△DBC∽△BOA，
∴∠DCB=∠OAB，
∴∠BCE=∠PAN，
∵∠PMA=∠E，
∴△BEC∽△PAM，
∴$\frac{BE}{PM}$=$\frac{BC}{AP}$，
∴PM=$\frac{9\sqrt{5}}{5}$，
在R_t△PMN中，
（4+m）²+（3m+3）²=${（\frac{9\sqrt{5}}{5}）}^{2}$
∴m=-$\frac{2}{5}$，m=-$\frac{11}{5}$（舍去 ），
∴m=-$\frac{2}{5}$，∴M（-$\frac{2}{5}$，$\frac{9}{5}$），
设直线PM的解析式：y=kx+b，
∴$\left\{\begin{array}{l}{0=-4k+b}\\{\frac{9}{5}=-\frac{2}{5}k+b}\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线PM的解析式：y=$\frac{1}{2}$x+2．

点评 本题主要考查了根据一次函数的解析式求点的坐标，勾股定理，相似三角形的性质和判定，应用待定系数法求一次函数的解析式．