Question

如图，以A（0，

3

）为圆心的圆与x轴相切于坐标原点O，与y轴相交于点B，弦BD的延长线交x轴的负半轴于点E，且∠BEO=60°，AD的延长线交x轴于点C．
（1）分别求点E、C的坐标；
（2）求经过A、C两点，且以过E而平行于y轴的直线为对称轴的抛物线的函数解析式；
（3）设抛物线的对称轴与AC的交点为M，试判断以M点为圆心，ME为半径的圆与⊙A的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析：（1）已知了A点的坐标，即可得出圆的半径和直径，可在直角三角形BOE中，根据∠BEO和OB的长求出OE的长进而可求出E点的坐标，同理可在直角三角形OAC中求出C点的坐标．
（2）已知了对称轴的解析式，可据此求出C点关于对称轴对称的点的坐标，然后根据此点坐标以及C，A的坐标用待定系数法即可求出抛物线的解析式．
（3）两圆应该外切，由于直线DE∥OB，因此∠MED=∠ABD，由于AB=AD，那么∠ADB=∠ABD，将相等的角进行置换后可得出∠MED=∠MDE，即ME=MD，因此两圆的圆心距AM=ME+AD即两圆的半径和，因此两圆外切．

解答：解：（1）在Rt△EOB中EO=

OB

tan60°

=

2 3

3

=2，
∴点E的坐标为（-2，0），
在Rt△COA中，OC=OA•tan∠CAO=OA•tan60°=

3

×

3

=3，
∴点C的坐标为（-3，0）．

（2）∵点C关于对称轴x=-2对称的点的坐标为（-1，0），
点C与点（-1，0）都在抛物线上，
设y=a（x+1）（x+3），把A（0，

3

）代入得，

3

=a（0+1）（0+3），
∴a=

3

3

，
∴y=

3

3

（x+1）（x+3）
即y=

3

3

x²+

4

3

3

x+

3

．

（3）⊙M与⊙A外切，
证明如下：∵ME∥y轴，
∴∠MED=∠B，
∵∠B=∠BDA=∠MDE，
∴∠MED=∠MDE，
∴ME=MD，
∵MA=MD+AD=ME+AD，
∴⊙M与⊙A外切．

点评：本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、切线的性质、圆与圆的位置关系等知识点．