【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,A(0,3),B(1,0),连接BA,将线段BA绕点B顺时针旋转90°得到线段BC,反比例函数y=的图象G经过点C.
(1)请直接写出点C的坐标及k的值;
(2)若点P在图象G上,且∠POB=∠BAO,求点P的坐标;
(3)在(2)的条件下,若Q(0,m)为y轴正半轴上一点,过点Q作x轴的平行线与图象G交于点M,与直线OP交于点N,若点M在点N左侧,结合图象,直接写出m的取值范围.
【答案】(1)点C的坐标(4,1),k的值是4; (2) P(2,);(3)
【解析】
(1)过C点作CH⊥x轴于H,如图,利用旋转的性质得BA=BC,∠ABC=90°,再证明△ABO≌△BCH得到CH=OB=1,BH=OA=3,则C(4,1),然后把C点坐标代入y=(x>0)中可计算出k的值;
(2)画出过点C的反比例函数y=(x>0)的草图,结合条件点P在图象G上,根据相似三角形的判定和性质即可得到结论;
(3)由Q(0,m),得到OQ=m,得到M(,m),N(3m,m),根据点M在点N左侧,列不等式即可得到结论.
解:(1) 过C点作CH⊥x轴于H,如图,
∵线段AB绕点B顺时针旋转90°,得到线段BC,
∴BA=BC,∠ABC=90°,
∵∠ABO+∠CBH=90°,∠ABO+∠BAO=90°,
∴∠BAO=∠CBH,
在△ABO和△BCH中
∴△ABO≌△BCH(AAS),
∴CH=OB=1,BH=OA=3,
∴C(4,1),
∵点C落在函数y=(x>0)的图象上,
∴k=4×1=4;
故答案为:点C的坐标(4,1),k的值是4
(2)过O作OP∥BC交于点P,过P作PE⊥x轴于E,
∵∠POE=∠OAB,∠AOB=∠PEO,
∴△OAB∽△OHP,
∴PE:OE=OB:OA=1:3,∵点P在 上
∴
∴P(2,)
(3) ,理由:
∵Q(0,m),
∴OQ=m,
∵QM∥x轴,与图象G交于点M,与直线OP交于点N,
∴M(,m),N(3m,m),
∵点M在点N左侧,
∴<3m,
∵m>0,
∴m>.
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【题目】已知AB是⊙O的直径,AP是⊙O的切线,A是切点,BP与⊙O交于点C.
(1)如图①,若∠P=35°,连OC,求∠BOC的度数;
(2)如图②,若D为AP的中点,求证:直线CD是⊙O的切线.
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【题目】已知二次函数y=x2﹣4x+3.
(1)求该二次函数与x轴的交点坐标和顶点;
(2)在所给坐标系中画出该二次函数的大致图象,并写出当y<0时,x的取值范围.
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【题目】如图,直角△ABC中,∠A为直角,AB=6,AC=8.点P、Q、R分别在AB、BC、CA边上同时开始作匀速运动,2秒后三个点同时停止运动,点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动,点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动,点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动,用t(秒)(0≤t≤2)表示运动时间,在运动过程中:
(1)当t为何值时,△APR的面积为4;
(2)求出△CRQ的最大面积;
(3)是否存在t,使∠PQR=90°?若存在,请求出t的值;若不存在,请说明理由.
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【题目】二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表给出了以下结论:
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | … |
y | … | 12 | 5 | 0 | ﹣3 | ﹣4 | ﹣3 | 0 | 5 | 12 | … |
①二次函数y=ax2+bx+c有最小值,最小值为﹣3;②当﹣<x<2时,y<0;③二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴有两个交点,且它们分别在y轴的两侧;④当x<1时,y随x的增大而减小.则其中正确结论有( )
A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 1个
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【题目】如下图,已知⊙O的直径为AB,AC⊥AB于点A, BC与⊙O相交于点D,在AC上取一点E,使得ED=EA.下面四个结论:①ED是⊙O的切线;②BC=2OE③△BOD为等边三角形;④△EOD ∽ △CAD,正确的是( )
A. ①② B. ②④ C. ①②④ D. ①②③④
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【题目】某公司销售一批产品,进价每件50元,经市场调研,发现售价为60元时,可销售800件,售价每提高1元,销售量将减少25件.公司规定:售价不超过70元.
(1)若公司在这次销售中要获得利润10800元,问这批产品的售价每件应提高多少元?
(2)若公司要在这次销售中获得利润最大,问这批产品售价每件应定为多少元?
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【题目】在图1、2中,⊙O过了正方形网格中的格点A、B、C、D,请你仅用无刻度的直尺分别在图1、图2、图3中画出一个满足下列条件的∠P
(1)顶点P在⊙O上且不与点A、B、C、D重合;
(2)∠P在图1、图2、图3中的正切值分别为1、、2.
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