Question

已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8，AD=12，，AM∥DC，E、F分别是线段AD、AM上的动点（点E与A、D不重合）且∠FEM=∠AMB，设DE=x，MF=y．
（1）求证：AM=DM；
（2）求y与x的函数关系式并写出定义域；
（3）若点E在边AD上移动时，△EFM为等腰三角形，求x的值；
（4）若以BM为半径的⊙M和以ED为半径的⊙E相切，求△EMD的面积．

Answer 1

解：（1）证明：过点M作MG⊥AD交AD于G；
∵AM∥DC，∴∠AMB=∠C；
∵∠B=90°，AB=8，
∴，
∴，∴BM=6；
∵AD∥BC，AB∥MG，
∴AG=BM=6，
∵AD=12，∴AG=GD，
∴△AGM≌△DGM，
∴AM=DM．

（2）∵∠FEM=∠AMB，∠AMB=∠MAE，
∴∠MAE=∠MEF，
∵∠AME=∠EMF，
∴△AEM∽△EFM；
∴，
∵，
∴，
∴；
定义域为：0＜x＜12．

（3）∵∠EFM=∠MAE+∠AEF＞∠FEM，
∴EM≠FM，
∴若△EFM为等腰三角形，则EF=EM或EF=FM；
①当EF=FM时，
12-x=10，∴x=2；
②当EF=EM时，
∵∠FME=∠FEM=∠MAE，
∴AE=EM，
∴，
∴．

（4）若⊙M与⊙E外切，则，
∴，
∴；
若⊙M与⊙E内切，则．
方程无解．
分析：（1）此题要通过构造全等三角形求解，过M作MG⊥AD于G，则AG=BM，在Rt△ABM中，由∠AMB（即∠C）的正切值可求得BM的长，也就得到了AG的长，此时发现G是AD的中点，即可证得△MAG≌△MDG，由此可得到所求的结论．
（2）由于AD∥BC，易得∠MAE=∠FEM=∠AMB，即可证得△AEM∽△EFM，分别表示出ME²、MF、MA的长，根据相似三角形得到的比例线段即可得到y、x的函数关系式．
（3）根据三角形的外角性质知：∠EFM＞∠FAE=∠FEM，因此EM≠FM，所以分两种情况讨论即可：
①EF=EM，此时∠EFM=∠EMF，由于∠EFM=∠AEF=∠FEM+∠AEF，由此可证得AE=MA=10，由此可得到DE的长；
②EF=FM，此时∠FEM=∠EMF=∠EAM，即AE=EM，可令两条线段的表达式相等，即可求得此时DE的长．
（4）此题要分两种情况讨论：
①两圆外切，那么EM=BM+DE，分别表示出各线段的长，根据上面的等量关系列方程求得x的值，即可得到DE的长，以DE为底、AB为高即可得△EMD的面积；
②两圆内切，方法同上．
点评：此题考查了全等三角形的判定和性质、直角梯形的性质、以及相似三角形、全等三角形的判定和性质，圆与圆的位置关系等知识，综合性强，难度较大．