Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），四边形ABCD是正方形．

（1）填空：b= ；

（2）点D的坐标为 ；

（3）点M是线段AB上的一个动点（点A、B除外），在x轴上方是否存在另一个点N，使得以O、B、M、N为顶点的四边形是菱形？若不存在，请说明理由；若存在，请求出点N的坐标．

Answer 1

【答案】（1）b=6;

（2）点D的坐标为（14，8）；

（3）存在，x轴上方的点N有两个，分别为（， ）和（﹣4，3）．

【解析】（1）把（4，0）代入y=x+b即可求得b的值；

（2）过点D作DE⊥x轴于点E，证明△OAB≌△EDA，即可求得AE和DE的长，则D的坐标即可求得；

（3）分当OM=MB=BN=NO时；当OB=BN=NM=MO=3时两种情况进行讨论．

解：∵直线y=x+b分别与x轴、y轴交于点A、B，且点A的坐标为（8，0），

∴﹣×8+b=0，

解得：b=6，；

（2）如图1，过点D作DE⊥x轴于点E，

则∠AOB=∠DEA=90°，

∴∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90，

∴∠1=∠3，

又∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，

∵在△AOB和△DEA中，

∠1=∠3，∠AOB=∠DEA=90°，AB=DA，

∴△AOB≌△DEA（AAS），

∴OA=DE=8，OB=AE=6，

∴OE=OA+AE=8+6=14，

∴点D的坐标为（14，8）；

（3）存在．

①如图2，当OM=MB=BN=NO时，四边形OMBN为菱形．连接NM，交OB于点P，则NM与OB互相垂直平分，

∴OP=OB=3，

∴当y=3时， x+6=3，

解得：x=4，

∴点M的坐标为（4，3），

∴点N的坐标为（﹣4，3）．

②如图3，当OB=BN=NM=MO=6时，四边形BOMN为菱形．延长NM交x轴于点P，则MP⊥x轴．

∵点M在直线y=x+6上，

∴设点M的坐标为（a， a+6）（a＞0），

在Rt△OPM中，OP2+PM2=OM2，

即：a2+（a+6）2=62，

整理得： a2﹣9a=0，

∵a＞0，

∴a﹣9=0，

解得：a=，

∴点M的坐标为（， ），

∴点N的坐标为（， ）．

综上所述，x轴上方的点N有两个，分别为（， ）和（﹣4，3）．

“点睛”此题考查了待定系数法求函数解析式、全等三角形的判定与性质、正方形的性质、菱形的性质、勾股定理以及一元二次方程，主要掌握方程思想、分类讨论思想与数形结合思想的应用．