Question

“低碳生活”作为一种健康、环保、安全的生活方式，受到越来越多人的关注．某公司生产的健身自行车在市场上受到普遍欢迎，在国内市场和国外市场畅销，生产的产品可以全部售出．该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场每台的利润y₁（元）与销量x（万台）的关系如图所示；在国外市场每台的利润y₂（元）与销量x（万台）的关系为
y₂=

-30x+360(0≤x≤4) 180(4＜x≤10)

．
（1）求国内市场的销售总利润z（万元）关于销售量x（万台）的函数关系式，并指出自变量的取值范围．
（2）求该公司每年的总利润w（万元）关于国内市场的销量x（万台）的函数关系式，并帮助该公司确定国内、国外市场的销量各为多少万台时，公司的年利润最大？

Answer 1

分析：（1）根据图表中的数据，设出关系式，代入数据即可求出关系式；
（2）题中等量关系为：总利润=国内利润+国外利润，根据等量关系列出方程式．

解答：解：（1）由图知：y1=

400(0≤x≤4) 560-40x(4≤x≤10)

则z₁=xy₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

；

（2）该公司在国外市场的利润Z₂=xy₂=

-30x2+360x(0≤x≤4) 180x(4＜x≤10)

该公司的年生产能力为10万辆，在国内市场销售x万辆时，在国外市场销售（10-x）万辆，则
z₁=

400x(0≤x≤4) 560x-40x2(4≤x≤10)

，
z2=

-30(10-x)2+360(10-x)(0≤10-x≤6) 180(10-x)(6≤10-x≤10)

=

-30x2+240x+600(4≤x≤10) -180x+1800(0≤x≤4)

设该公司每年的总利润为w（万元），
则w=z₁+z₂=

220x+1800(0≤x≤4) -70x2+800x+600(5≤x≤10)

=

220x+1800(0≤x≤4) -70(x- 40 7 )2+ 20200 7 (4≤x≤10)

当0≤x≤4时，w随t的增大而增大，当x=4时，w取最大值，此时w=2680．
当4≤x≤10时，当x=

40

7

≈5.7143万辆时，w取最大值，此时w=

20200

7

．
综合得：当x=

40

7

≈5.7143万辆时，w的最大值为

20200

7

．此时，国内的销量约为5.7143万辆，国外市场销量约为4.2857万辆，总利润为

20200

7

万元．

点评：本题主要考查一次函数的应用，要注意找好题中等量关系．