如图(1).点O为线段AB上一点.过点O作射线OC.使∠AOC:∠BOC=1:2.将一直角三角板的直角顶点放在点O处.一边OM在射线OB上.另一边ON在线段AB的下方．中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转.使ON落在射线ON上.则三角板旋转的角度为90度,中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转.使ON在∠AOC的内部．试求∠AOM与∠NOC度数的差,中的直角三角板绕� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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20．如图（1），点O为线段AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC：∠BOC=1：2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在线段AB的下方．
（1）将图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON落在射线ON上（如图（2）），则三角板旋转的角度为90度；
（2）继续将图（2）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转，使ON在∠AOC的内部（如图（3））．试求∠AOM与∠NOC度数的差；
（3）若图（1）中的直角三角板绕点O按逆时针方向旋转一周，在此过程中：
①当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时，∠AOM的度数是150°或30°；
②设直角三角板绕点O按每秒15°的速度旋转，当直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求三角板绕点O旋转时间t的值．

分析（1）根据旋转的性质知，旋转角是∠MON；
（2）如图3，利用平角的定义，结合已知条件“∠AOC：∠BOC=1：2”求得∠AOC=60°；然后由直角的性质、图中角与角间的数量关系推知∠AOM-∠NOC=30°；
（3）需要分类讨论：（ⅰ）当直角边ON在∠AOC外部时，旋转角是60°；（ⅱ）当直角边ON在∠AOC内部时，旋转角是240°．

解答解：（1）由旋转的性质知，旋转角∠MON=90°．
故答案是：90；

（2）如图3，∠AOM-∠NOC=30°．
设∠AOC=α，由∠AOC：∠BOC=1：2可得
∠BOC=2α．
∵∠AOC+∠BOC=180°，
∴α+2α=180°．
解得 α=60°．
即∠AOC=60°．
∴∠AON+∠NOC=60°．①
∵∠MON=90°，
∴∠AOM+∠AON=90°．②
由②-①，得∠AOM-∠NOC=30°；
（3）①当直角边OM所在直线恰好垂直于OC时，∠AOM的度数是150°或30°；
故答案为：150°或30°；
②（ⅰ）如图4，当直角边ON在∠AOC外部时，
由OD平分∠AOC，可得∠BON=30°．
因此三角板绕点O逆时针旋转60°．
此时三角板的运动时间为：
t=60°÷15°=4（秒）．
（ⅱ）如图5，当直角边ON在∠AOC内部时，
由ON平分∠AOC，可得∠CON=30°．
因此三角板绕点O逆时针旋转240°．
此时三角板的运动时间为：
t=240°÷15°=16（秒）

点评本题综合考查了旋转的性质，角的计算．解答（3）题时，需要分类讨论，以防漏解．

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