Question

作图题：
（1）已知直线L及L同侧两点A、B．请你在直线L上确定一点P使P到A、B两点的距离和最小．
（2）已知直线L及L异侧两点A、B．请你在直线L上确定一点P使P到A、B两点的距离差最大；
（3）已知如图△ABC，①画∠ABC和∠ACB的角平分线交于O，并判断O到△ABC三边的距离有什么关系？
②再画∠BAC的平分线，结合①你能发现什么结论？
③△ABC周长为30，O到BC的距离为2，求△ABC的面积．

Answer 1

分析：（1）作出点A关于直线l的对称点A′，连接A′B与直线l的交点就是点P，因为PA=PA′，所以求PA+PB的最大；
（2）作A关于L的对称点A₁，连接A₁B，并延长交L于的P，P即为所求的点；PA=PA₁，P点与A，B的差PB-PA=PB-PA₁=A₁B．
下面证明A₁B是P到A、B两点的距离差最大值：在L上取一个不同于P点的点P₁，这样P₁A₁B就构成一三角形，P₁A₁=P₁A；
根据两边之差小于第三边，有P₁A₁-P₁B＜A₁B即：P₁A-P₁B＜A₁B所以除P点外，任何一点与A，B的距离差都小于A₁B，即P点与A，B的距离差的最大值是A₁B，所以P点就是所求的点．
（3）用尺规作图法：以角A中A点为顶点，以任意长为半径画圆，圆与∠A两条边相交点设为M，N；再分别以M，N为顶点，任意长为半径画圆，两个圆在角A两条边之间的交点与A点连线即为∠A的角平分线．同理可以画出其他两角的角平分线．然后利用角平分线定理证明就行了．

解答：解：（1）（2）如图．


（3）①根据角平分线定理可以得出：O到△ABC三边的距离相等；
②三条角平分线相交于点O；
③点O为三角形ABC的三个角平分线的交点，到三边的距离相等，OD=2，
S_△ABC=S_△AOB+S_△BOC+S_△AOC
=（AB+AC+BC）×

OD

2

=30．

点评：本问对学生运用作图工具的能力，以及运用角平分线定理、对称等基础知识解决问题能力的考查．