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(2004•南京)我们知道:如果两个三角形不仅是相似三角形,而且每对对应点所在的直线都经过同一个点,那么这两个三角形叫做位似三角形,它们的相似比又称为位似比,这个点叫做位似中心.利用三角形的位似可以将一个三角形缩小或放大.
(1)选择:如图1,点O是等边三角形PQR的中心,P′、Q′、R′分别是OP、OQ、OR的中点,则△P′Q′R′与△PQR是位似三角形.此时,△P′Q′R′与△PQR的位似比、位似中心分别为______;
(A)2、点P,(B)、点P,( C)2、点O,(D)、点O;
(2)如图2,用下面的方法可以画△AOB的内接等边三角形.阅读后证明相应问题.
画法:
①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上;
②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′;
③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.
求证:△C′D′E′是等边三角形.

【答案】分析:(1)根据中位线定理可知,△P′Q′R′∽△PQR,且相似比是1:2,所以位似比是1:2,位似中心为点O;
(2)根据作法可知:E′C′∥EC,E′D′∥ED,可证得△OCE∽△OC′E′,△ODE∽△OD′E′,根据相似可证的对应边的比相等,对应角相等,即可根据对应边的比成比例且夹角相等的三角形相似,可证得△CDE∽△C′D′E′,即可得结果.
解答:(1)解:选择D.
∵△P′Q′R′∽△PQR,且相似比是1:2,
∴位似比是1:2,位似中心为点O.
故选D;

(2)证明:∵E′C′∥EC,E′D′∥ED,
∴△OCE∽△OC′E′,△ODE∽△OD′E′
∴CE:C′E′=OE:OE′,DE:D′E′=OE:OE′,∠CEO=∠C′E′O,∠DEO=∠D′E′O
∴CE:C′E′=DE:D′E′,∠CED=∠C′E′D′
∴△CDE∽△C′D′E′
∵△CDE是等边三角形,
∴△C′D′E′是等边三角形.
点评:此题考查了学生的应用能力,考查了相似三角形的判定与性质,考查了位似图形与相似图形的关系:位似是相似的特殊形式.
练习册系列答案
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(1)请直接写出抛物线y=2x2-4x+1的伴随抛物线和伴随直线的解析式:
伴随抛物线的解析式 ______,伴随直线的解析式 ______;
(2)若一条抛物线的伴随抛物线和伴随直线分别是y=-x2-3和y=-x-3,则这条抛物线的解析式是 ______;
(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x2>x1>0,它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点,且AB=CD.请求出a、b、c应满足的条件.

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(3)求抛物线L:y=ax2+bx+c(其中a、b、c都不等于0)的伴随抛物线和伴随直线的解析式;
(4)若抛物线L与x轴交于A(x1,0)、B(x2,0)两点,x2>x1>0,它的伴随抛物线与x轴交于C、D两点,且AB=CD.请求出a、b、c应满足的条件.

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(A)2、点P,(B)、点P,( C)2、点O,(D)、点O;
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画法:
①在△AOB内画等边三角形CDE,使点C在OA上,点D在OB上;
②连接OE并延长,交AB于点E′,过点E′作E′C′∥EC,交OA于点C′,作E′D′∥ED,交OB于点D′;
③连接C′D′,则△C′D′E′是△AOB的内接三角形.
求证:△C′D′E′是等边三角形.

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