Question

如图，在平面直角坐标系中，已知Rt△AOB的两条直角边0A、08分别在y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程x²—7x+12=0的两根(OA<0B)，动点P从点A开始在线段AO上以每秒l个单位长度的速度向点O运动；同时，动点Q从点B开始在线段BA上以每秒2个单位长度的速度向点A运动，设点P、Q运动的时间为t秒．
(1)求A、B两点的坐标。
(2)求当t为何值时，△APQ与△AOB相似，并直接写出此时点Q的坐标．
(3)当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形?若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）A(0，3)， B(4，0)（2）t= ，Q（）；t= ，Q（）（3）存在。M₁（）， M₂（），M₃（）

解：（1）由x²－7 x +12=0解得x₁=3，x₂=4。
∵OA＜OB ，∴OA="3" , OB=4。∴A(0，3)， B(4，0)。
(2)由OA="3" , OB=4，根据勾股定理，得AB=5。
由题意得，AP=t,  AQ=5－2t 。分两种情况讨论：
①当∠APQ=∠AOB时，如图1，

△APQ∽△AOB。∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
②当∠AQP=∠AOB时，如图2，

△APQ∽△ABO。∴，即 解得 t= 。∴Q（）。
（3）存在。M₁（）， M₂（），M₃（）。
（1）解出一元二次方程，结合OA＜OB即可求出A、B两点的坐标。
（2）分∠APQ=∠AOB和∠AQP=∠AOB两种情况讨论即可。
（3）当t=2时，如图，

OP=2，BQ=4，∴P（0，1），Q（）。
若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则
①当AQ为对角线时，点M₁的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M₁（）。
②当PQ为对角线时，点M₂的横坐标与点Q的横坐标相同，纵坐标为。∴M₂（）。
③当AP为对角线时，点Q、M₃关于AP的中点对称。
由A(0，3)，P（0，1）得AP的中点坐标为（0，2）。
由Q（）得M₃的横坐标为，纵坐标为。∴M₃（）。
综上所述，若以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行四边形，则M点的坐标为
（）或（）或（）。