Question

如图所示，在直角坐标系xOy中，A，B是x轴上两点，以AB为直径的圆交y轴于点C，设过A、B、C三点的抛物线关系为y=x²-mx+n，若方程x²-mx+n=0两根倒数和为-2．
（1）求n的值；
（2）求此抛物线的关系式．

Answer 1

分析：（1）由于AB是圆的直径，根据相交弦定理的推论可得OC²=OA•OB，若设A（x₁，0），B（x₂，0），那么n²=-x₁x₂，根据根与系数的关系知x₁x₂=n，联立两式即可求得n的值．
（2）根据韦达定理可求得方程的两根之和与两根之积，即可表示出它们的倒数和，已知了倒数和为2，即可求得m的值，由此确定抛物线的解析式．

解答：解：（1）由题意，设A（x₁，0），B（x₂，0），C（0，n）
∵OA=-x₁，OB=x₂，又CO⊥AB，
∴CO²=AO•OB，
即n²=-x₁x₂；
又∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两根，
∴x₁•x₂=n，
∴n²=-n，
∴n₁=-1，n₂=0（舍去），
∴n=-1．

（2）∵x₁，x₂是方程x²-mx+n=0的两根，
∴x₁+x₂=m．
又∵n=-1，
∴x₁x₂=-1，
∴

1

x1

+

1

x2

=

x1+x2

x1x2

=

m

-1

=-2，
∴m=2，
∴所求抛物线的关系式为y=x²-2x-1．

点评：此题主要考查相交弦定理、根与系数的关系、二次函数解析式的确定等知识，难度适中．