Question

如图，已知二次函数y=ax²+2x+3的图象与x轴交于点A、点B，与y轴交于点C，其顶点为D，tan∠OBC=1，
（1）求点B的坐标；
（2）求a的值和二次函数y=ax²+2x+3的顶点坐标；
（3）求直线DC的解析式；
（4）在该二次函数的图象上是否存在点P（点P与点B、C不重合），使得△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请你说明理由．

Answer 1

分析：（1）由二次函数y=ax²+2x+3的图象与y轴交于点C，令x=0，求得y的值，即可得点C的坐标，又由tan∠OBC=1，即可求得点B的坐标；
（2）将点B（3，0）代入二次函数y=ax²+2x+3中，即可求得a的值，利用配方法即可求得二次函数y=ax²+2x+3的顶点坐标；
（3）设直线DC的解析式为y=kx+b，利用待定系数法即可求得此一次函数的解析式；
（4）存在，分为PC是斜边与PB是斜边去分析，首先设P（x，-x²+2x+3），然后由勾股定理得方程，解方程即可求得点P的坐标．

解答：解：（1）∵二次函数y=ax²+2x+3的图象与y轴交于点C，
∴令x=0，得y=3，
∴点C的坐标为（0，3），
∵tan∠OBC=

OC

OB

=1，
∴OB=OC=3，
∴点B的坐标为（3，0）；

（2）将点B（3，0）代入二次函数y=ax²+2x+3中，
可得：9a+6+3=0，
解得：a=-1，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴二次函数y=ax²+2x+3的顶点D的坐标为（1，4）；

（3）设直线DC的解析式为y=kx+b，
∴

b=3 k+b=4

，
解得：

k=1 b=3

，
∴直线DC的解析式为：y=x+3；

（4）存在．
①∵直线BC的解析式为y=-x+3，
∴直线BC与直线DC垂直，
∴当点P与D重合时，△PBC是以BC为一条直角边的直角三角形，即是△DBC，
∴此时点P的坐标为（1，4）；
②设PC为斜边，设P（x，-x²+2x+3），
由勾股定理：PC²=PB²+BC²，
∴x²+（x²-2x+3-3）²=（x-3）²+（-x²+2x+3）²+18，
整理得：x²-x-6=0，
解得：x=3或x=-2，
∴当x=3时，y=0，（舍去），
当x=-2时，y=-5，
∴点P（-2，-5）；
∴点P的坐标为（1，4）或（-2，-5）．

点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，二次函数的性质，函数与坐标系的交点问题以及勾股定理的应用．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．