Question

如图，在矩形ABCD中，已知边AB、BC的长恰为关于x的一元二次方程x²-（m-2）x+3m=0的两根．动点P、Q分别从点B、C出发，其中，点P以每秒a个单位的速度，沿B→C的路线向点C运动；点Q以每秒3个单位的速度，沿C→D的路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，运动时间为t（s）（t＞0），且当t=2时，P、Q两点恰好同时到达目的地．
（1）求m、a的值；
（2）是否存在这样的t，使得△APQ为直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．
（3）若在动点P、Q从起点出发的同时，另有M、N两点同时从点A出发，其中，点M以每秒2个单位的速度，沿A→D的路线向点D运动；点N以每秒1个单位的速度，沿A→B的路线向点B运动．问：是否存在这样的t，使得四边形PQMN为平行四边形？若存在，请求出所有符合条件的t的值；若不存在，请说明理由．若将“平行四边形”改为“梯形”，结果又如何？

Answer 1

解：（1）由已知得CD=6，
∴AB=6．把x=6代入方程x²-（m-2）x+3m=0得m=16．（1分）
把m=16代入原方程，解得x₁=6，x₂=8，
∴BC=8．（2分）
∴点P的运动速度a=8÷2=4（cm/s）．（3分）

（2）存在这样的t，使得△APQ为直角三角形．理由如下：
显然∠PAQ不可能为直角．
若∠APQ=90°，则△ABP∽△PCQ，
∴=．即=，解得t=．
若∠AQP=90°，同理求得t=2或t=．
经检验，t=不合题意，舍去，
∴t=2．
综上所述，当t=和t=2时△APQ为直角三角形；


（3）若MN∥PQ，则可得△AMN∽△CPQ，
∴=，即=，解得t=．（8分）
若MQ∥NP，则可得△DMQ∽△BPN，
∴=，即=，即7t²-22t+24=0．
由于△＜0，所以这个方程无实根．（9分），
∴MQ与NP不可能相互平行．
∴不存在这样的t，使得四边形PQMN为平行四边形．（10分）
当t=时，四边形PQMN为梯形．（11分）
分析：（1）由点Q以3cm/s的速度，沿C→D的路线向点D运动，运动时间为t=2，可得AB=CD=6，代入x²-（m-2）x+3m=0求解即可；
（2）要使△APQ的外心在△APQ的某一边上，则△APQ为直角三角形；显然∠PAQ不可能为直角．分别从∠APQ=90°与∠AQP=90°分析，易得相似三角形，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得t的值．
（3）采用逆向证明法．当若MN∥PQ时，由相似三角形△AMN∽△CPQ的对应边成比例解得t=；若MQ∥NP时，由相似三角形△DMQ∽△BPN的对应边成比例解得7t²-22t+24=0，然后解方程知，MQ与NP不可能相互平行，即不存在这样的t，使得四边形PQMN为平行四边形．
点评：此题考查了一元二次方程的应用，以及相似三角形的判定与性质和圆的外心的性质．解此题的关键要抓住不变量，还要注意利用分类讨论的思想．解题时还要注意数形结合思想的应用．