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10.如图,在矩形AFCG中,BD垂直平分对角线AC,交CG于D,交AF于B,交AC于O,连接AD,BC.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若E为AB的中点,DE⊥AB,求∠BDC的度数.

分析 (1)只要证明AB=BC=CD=DA即可;
(2)只要证明△ADB是等边三角形即可解决问题;

解答 (1)证明:∵BD垂直平分AC,
∴OA=OC,AD=CD,AB=BC,
∵四边形AFCG是矩形,
∴CG∥AF,
∴∠CDO=∠ABO,∠DCO=∠BAO,
∴△COD≌△AOB,
∴CD=AB,
∴AB=BC=CD=DA,
∴四边形ABCD是菱形.

(2)∵E为AB中点,DE⊥AB,
∴DE垂直平分AB,
∴AD=DB,
∵AD=AB,
∴△ADB为等边三角形,
∴∠DBA=60°,
∵CD∥AB,
∴∠BDC=∠DBA=60°.

点评 本题考查矩形的性质、菱形的判定、等边三角形的判定等知识,解题的关键是灵活运用所学知识解决问题,属于中考常考题型.

练习册系列答案
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